Untervektorräume

17.04.2012, 22:41	Bane2	Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorräume Meine Frage: Hallo habe folgende Aufgaben zur Übung bei denen ich mir nicht so ganz sicher bin. Sei nun V=Mat(nxn,K) ich soll nun sagen ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. 1. Die Matrizen mit mind. n einträgen gleich null bilden einen Untervektorraum von V 2. Die unteren Dreiecksmatrizen bilden einen Untervektorraum von V 3. Die Matrizen mit Spur gleich null bilden einen Untervektoraum von V 4. Die Matrizen mit Determinante gleich null bilden einen Untervektorraum von V 5. Die Matrizen mit Derterminante ungleich null bilden einen Untervektorraum von V Meine Ideen: zu 1: falsch, da die Addidtion nicht abgeschlossen ist zu 2: richtig, Unterraumaxiome sind erfüllt zu 3: richtig, Unterraumaxiome sind erfüllt zu 4: falsch, nicht abgeschlossen bzgl. Addition zu 5: richtig, Unterraumaxiome sind erfüllt Ist das richtig so? Da ich mir nicht sicher bin ob ich die Axiome alle richtig verstanden habe, wäre ich über eure Hilfe sehr dankbar
17.04.2012, 22:55	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die ersten 3 stimmen. Aber 4 und 5 sind entweder beides UVR oder beides keine. Es kann nicht sein, dass "det = 0" nicht unter der Addition abgeschlossen ist, aber "det != 0" schon. Edit: "Es kann nicht sein" beruhte wohl auf einem Denkfehler - eins der beiden ist dennoch falsch
17.04.2012, 23:09	Bane2	Auf diesen Beitrag antworten »
ist dann beides nicht abgeschlossen? denn wenn ich z.B. die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ habe und die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ jeweils mit det=0 dann wäre ja die det(A+B)=1 somit ist das schonmal nicht abgeschlossen und zu det ungleich null: z.B. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann hätte ich bei addition det=0 somit auch nicht abgeschlossen. stimmt das dann?
17.04.2012, 23:11	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Jop, sind beide nicht abgeschlossen. Die Determinante verträgt sich absolut nicht mit der Addition.
17.04.2012, 23:16	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte ja der Vollständigkeit halber noch angegeben, dass $\begin{eqnarray} n\geq2 \end{eqnarray}$ betrachtet wird, für n=1 hätte man bei 1 und 4 auch Vektorräume.
17.04.2012, 23:39	Bane2	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke noch für den Hinweis und danke IfindU für die Tips! Jetzt habe ich es glaub verstanden
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