Die Barbier Antinomie, oder doch nicht?

18.04.2012, 09:10	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Barbier Antinomie, oder doch nicht? Wir müssen folgende Aufgabe lösen: Der Barbier eines Dorfes rasiert genau die Dorfbewohner, die sich nicht selbst rasieren. Es sei M={Dorfbewohner x: x rasiert sich nicht selbst}. Ist der Barbier aus M oder nicht aus M? Meine Lösung: Nach Definition gilt: Der Barbier eines Dorfes rasiert genau die Dorfbewohner, die sich nicht selbst rasieren. Ich habe mir folgende Relations überlegt: Der Barbier $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ steht in der Relation $\begin{eqnarray} R=\text{rasiert} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} bRx : (x \text{ ist Dorfewohner})\wedge (x\text{ rasiert sich nicht selbst}) \end{eqnarray}$ und die Menge $\begin{eqnarray} M=\{\text{Dorfbewohner }x: x \text{ rasiert sich nicht selbst}\} \end{eqnarray}$ ist gegeben. angenommen: $\begin{eqnarray} b\in M \Rightarrow (b \text{ ist Dorfewohner})\wedge (b\text{ rasiert sich nicht selbst})\Rightarrow \neg(bRb) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b\notin M \Rightarrow \neg (b \text{ ist Dorfewohner})\wedge \neg (b\text{ rasiert sich nicht selbst})\Rightarrow bRb \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \neg (bRb ) \wedge (bRb ) \end{eqnarray}$ die Annahmen führen also auf einen Widerspruch! daraus folgt, die Frage kann nicht entschieden werden, und ist daher sinnlos. liege ich soweit richtig? Wäre das mathematisch so in Ordnung? liebe Grüße
18.04.2012, 16:50	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe heute in der Übung festgestellt, dass mein Ansatz nicht ganz korrekt ist. Wir haben das dort ein wenig anders gemacht. Wenn aber trotzdem jemand die Zeit hat mal zu gucken, dann wäre das super.
18.04.2012, 20:09	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Mangel in deinem Ansatz besteht hauptsächlich darin, dass du für den Barbier einen Individuenbezeichner b benutzt, was impliziert, dass es ein solches Individuum gibt. Tatsächlich wird aber eine Definition getroffen, wann jemand der (ein) Barbier ist. Man sollte Barbier also als einstelliges Prädikat B(x) x ist Barbier einführen, welches mittels des zweistelligen Prädikats R(x, y) x rasiert y definiert wird. Die Definition könnte dann so aussehen: $\begin{eqnarray} B(x) \leftrightarrow \forall y (\neg R(y,y) \leftrightarrow R(x,y)) \end{eqnarray}$ Nun ist die Aussage $\begin{eqnarray} \neg R(x,x) \leftrightarrow R(x,x) \end{eqnarray}$ offensichtlich falsch. Damit ist aber auch die Aussage $\begin{eqnarray} \forall y (\neg R(y,y) \leftrightarrow R(x,y)) \end{eqnarray}$ falsch, denn sie ist ja für y = x falsch, also nicht für alle y richtig. Und damit ist die Aussage B(x) falsch. Es gibt also kein x, auf das diese Barbierdefinition zuträfe. Und da es kein solches x gibt, kann es auch kein Element irgendeiner Menge sein, also auch nicht Element der Menge M.
20.04.2012, 16:43	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine ausführliche Erklärung! Sehr interessant. Ich denke ich habe es ungefähr verstanden, auf jeden Fall ist die Argumentation logisch und vor allem, man kann die Schlussfolgerungen direkt aus den logischen Formeln ableiten. In der Übung mussten wir die Schlussfolgerung aus dem Satz "Der Barbier eines Dorfes rasiert genau die Dorfbewohner, die sich nicht selbst rasieren. " ableiten, was nur unter verkrampftem Nachdenken möglich war. sei gegrüßt

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