umgebung von funktionen

18.04.2012, 09:41	chrlan	Auf diesen Beitrag antworten »
umgebung von funktionen Meine Frage: Die Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R \end{eqnarray}$ sei viermal differenzierbar, $\begin{eqnarray} f^{(IV)} \end{eqnarray}$ jedoch möglicherweiße unstetig. Weiterhin seien $\begin{eqnarray} f^{'}(0)=0, f^{''}(0)=0, f^{'''}(0)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f^{(IV)}(0)>0 \end{eqnarray}$ bekannt. Zeigen Sie: a)Es gibt eine Umgebung $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ des Nullpunktes mit folgender Eigenschaft. Für $\begin{eqnarray} x\in U \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} f^{'''}(0)>0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f^{'''}(0)<0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ . b)Es gibt eine Umgebung $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ des Nullpunktes mit $\begin{eqnarray} f(x)>f(0) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in U, x\neq 0 \end{eqnarray}$ . Hinweiß zu b): Taylorsche Formel mit Restglied. Meine Ideen: Hab das mit der Umgebung noch nicht so ganz verstanden. Ein Denkanstoß wäre nicht schlecht. Könnte mir nur erklären das die ersten 3 ableitungen 0 sind und die 4. nicht 0, weil in den ersten 3 ableitungen keine konstanten vorkommen aber in der 4. denke aber, dass das wohl ein bisschen zu trivial ist.
19.04.2012, 10:44	chrlan	Auf diesen Beitrag antworten »
hat der begriff der umgebung was mit dem häufungspunkt gemein? dann hab ich da eine geringe vorstellung von. wäre über hilfe echt froh.
20.04.2012, 14:05	chrlan	Auf diesen Beitrag antworten »
keiner ne idee?
21.04.2012, 14:36	chrlan	Auf diesen Beitrag antworten »
man soll bei der b ja die taylorformel anwenden. hab dann folgendes: $\begin{eqnarray} f(0)+\frac{f^{''}(\xi_1)}{2}\cdot x^2<f(a)-f^{'}(a)\cdot (x-a)+\frac{f^{''}(\xi_2)}{2}\cdot (x-a)^2 \end{eqnarray}$ weil f ' (0)=0 nach voraussetzung. ist das bis hier hin richtig? wie kann ich hier weitermachen?
22.04.2012, 12:10	chrlan	Auf diesen Beitrag antworten »
komme da irgendwie nicht weiter. bin ich überhaupt auf dem richtigen weg?
22.04.2012, 12:47	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Ein Ball um die 0 ist eine Umgebung um die 0. (Es gibt noch mehr, aber aus ein paar topologischen Überlegungen reicht es Bälle zu betrachten). Du solltest also einen Radius finden, so dass Elemente in dem Ball in die 2 Kategorien fallen (positive x sollen f'''(x) > 0 erfüllen, und negative das andere). Nun weißt du, dass $\begin{eqnarray} f^{(4)}(0) = \lim_{h \to 0} \frac {f'''(x+h) - f'''(x)} h > 0 \end{eqnarray}$ ist. Du weißt nun nicht, dass die vierte Ableitung stetig ist, aber du weißt, dass es die dritte ist. Damit gibt es einen Ball um h, so dass der Differenzenquotient $\begin{eqnarray} \frac {f'''(x+h) - f'''(x)} h > 0 \end{eqnarray}$ für alle h dieses Balles. Damit kannst du dann argumentieren, dass die Aussage gilt.
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