Aussagen von Abbildungen |
| 18.04.2012, 10:59 | Karlson83 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Aussagen von Abbildungen folgende Aufgabenteile möchte ich gern bearbeiten und bin mir bei meinen Lösungen nicht sicher. Es wäre schön,wenn mal jemand drüber gucken könnte und sagen,ob ich auf dem richtigen Weg bin. 
Aufg: 1) Sei f: M -> N eine Abbildung von Mengen. Für jedes n N gibt es stets ein m M, so dass f(m) = n gilt. Meine Idee: Ja, diese Aussage stimmt, da sie Vorschrift f: M -> N jedem Element x M genau ein Element f(x) N zuordnet. 2) Sei f: M ->N eine surjektive Abbildung von Mengen. Dann ist f auch injektiv. Meine Antwort: Aussage stimmt, denn injektiv bedeutet,das jedes Element der Zielgruppe 1mal als Funktionswert angenommen wird.Surjektiv bedeutet ja,dass die Elemente mind 1mal als Funktionswert angenommen werden. Sprich: Da laut Aussage jedes Element mind 1x mal als Funktionswert angenommen worden ist, ist f auch injektiv. 3) Sei N nicht leer ( N hat wenigstens ein Element) und M beliebig. Dann gibt es eine injektive Abbildung M - > M x N. Meine Idee: Mein Problem ist hier die Matrix M X N. Ich denke, das die Abbildung nicht injektiv ist, da die Matrix M x N nur 1 Element rausbringt und dann würde man ja die beliebif vielen Elementen aus M immer auf das ein und das selbe Zielelement abbilden. 4) Sei N und M beliebig. Dann gibt es eine injektive Abbildung M -> M x N. Hier würde ich sagen, das die Aussage stimmt, da M in der Zielmenge M x N genügend Elemente hat,auf die man abbilden kann. Ich hoffe, mir kann hier der eine oder andere weiterhelfen und bedanke mich im Voraus. LG Karlson |
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| 18.04.2012, 14:40 | Karlson83 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmmm, hab ich beim Stellen meiner Frage etwas falsch gemacht oder ist der Zeitpunkt ungünstig ? Das Thema vllt nicht zu präzise genug, ich wollte es noch änder, aber dann ging es nicht mehr. Hoffe,mir kann noch jemand helfen. GLG Karlson83 |
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| 19.04.2012, 00:55 | Totto-GE | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
(1) Idee falsch - so wird surjektiv definiert (2) Idee falsch - dies gilt nur für endliche Mengen (3) Idee falsch - injektiv (4) Idee falsch - Wähle und als Gegenbsp. Es hapert am Verständnis "Funktion". - Vielleicht hilft: linkstotal + rechtseindeutig als Stichworte. - 2 Kringel zeichnen (mit Punkten drinnen) und Pfeile machen (abbilden). surjektiv - rechts wird alles aufgebraucht. injektiv - rechts darf nur ein Urbild haben |
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| 19.04.2012, 14:38 | Karlson83 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Aussagen von Abbildungen Danke für deine Antwort. Ich grüble schon Stunden darüber, aber irgendwie komm ich nicht auf den grünen Zweig. zur Aussage 1: Bin ich immer noch der Meinung, das sie wahr ist. Ist es nicht so, dass die Abbildung von M nach N jedem m M eindeutig ein bestimmtes Element n aus N zugeordnet wird, was dann mit f ( m) bezeichnet wird? Zur Aussage 2: Du schriebst was von endlichen Summen, ich denke M und N sind endliche Menge oder muss ich hier eine Fallunterscheidung machen ( endliche und unendliche Mengen) Über den Rest denk ich noch weiter nach. LG |
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| 19.04.2012, 14:43 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Aussagen von Abbildungen
Dann liegst du eben immer noch falsch. Deine Begründung ist genau andersrum als das, was in der Aufgabe steht. In der Aufgabe steht, dass stets jedem n € N ein m € M zugeordnet wird. Und du sagst, das stimmt, da ja jedem m € M stets ein n € N zugeordnet wird.
Da die Aufgabe allgemein gehalten ist, ist eine Fallunterscheidung nicht nötig. Bring doch einfach ein Gegenbeispiel, dann bist du fertig. Warum "denkst" du, M und N seien endlich? Steht doch nirgends, oder? |
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| 19.04.2012, 14:54 | Karlson83 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm, ich denke zu verkrampft oder ich bin einfach zu blöd für Mathe. 
zur Aussage eins: Sie ist also falsch, da jedem m ein n zugeordnet wird. Es müsste aber eigentlich jedem n ein m zugeordnet werden. Aber ist das nicht Jacke wie Hose? 
zur Aussage 2: Gegenbeispiel ok, aber dann muss ich doch erst M und N genau festlegen oder? |
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| 19.04.2012, 14:57 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Aussagen von Abbildungen
Wie Totte schon sagte: Das ist die Definition von Surjektivität! Ist denn neuerdings jede Abbildung surjektiv, oder wie? Das, was du hingegen als Begründung aufführst, ist die Definition einer Abbildung. Auch hier wieder: Bastle dir ein einfaches Gegenbeispiel. Zu 2: Ja, M und N kannst du festlegen. Denk dir irgendwas aus, es gibt unendlich viele Gegenbeispiele, die man da nennen könnte. |
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| 19.04.2012, 15:06 | Karlson83 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nee, nicht jede Abbildung ist surjektiv. Aber dann bin ich ganz ehrlich,weiß ich nicht was ich machen soll. Meine Menge M = ( 3,5, 7, 8 ) und meine Menge N ( 2, 6, 9). Da kann ja nicht alles eindeutig zugeordnet werden. zu 2) f: ( 3, 5, 6 ) --> ( 2, 4) , f(3)=2, f(5) = 4 , f(6) =4 Sind das richtige Gegenbeispiele? Danke schonmal für deine Hilfe |
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| 19.04.2012, 15:14 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine Abbildung basteln, die nicht surjektiv ist?
In Ordnung. Die Aussage, dass jede surjektive Abbildung auch injektiv ist (und umgekehrt), gilt übrigens nur, wenn M und N gleichmächtige, endliche Mengen sind. |
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| 19.04.2012, 15:17 | Karlson83 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, eine nicht surjektive Abbildung. f : (1,3) --> ( 4,5, 6) f( 1) = 3, f ( 2) = 4 so vielleicht? |
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| 19.04.2012, 15:20 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ein bisschen Sorgfalt walten lassen, deine Abbildung ist gar nicht definiert. Wie soll f(1)=3 sein, wenn die 3 gar nicht in der Bildmenge enthalten ist? Übrigens solltest du bei Mengen lieber geschweifte Klammern nutzen. |
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| 19.04.2012, 15:25 | Karlson83 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, geschweifte Klammern geht in ordnung. Ich denke das nächste mal daran. Machte das Tippen hier nur einfacher *schäm* f(1)= 5 wäre aber dann richtig oder? |
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| 19.04.2012, 15:27 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja. Und jetzt vergleich das nochmal mit der Aufgabenstellung, dann siehst du hoffentlich, warum es eben nicht "Jacke wie Hose" ist. |
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| 19.04.2012, 15:29 | Karlson83 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Dank, Mulder.
Ja,ich sehe es nun. *peinlich*Habe dir noch ne pn geschickt. 
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| 19.04.2012, 16:36 | Karlson83 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm, habe mich jetzt mal mit der Aussage 4 befasst. Mein Gegenbeispiel: M = N= Dann hab ich das Kartesische Produkt M xN gebildet: Mx N = Wenn ich jetzt M auf MxN abbilde , bleiben in der Zielmenge 3 Elemente " leer". Ist das ein richtiges Gegenbeispiel für diese Aussage? |
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| 19.04.2012, 18:12 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wo genau ist eigentlich der Unterschied zwischen 3) und 4)? |
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| 19.04.2012, 18:21 | Karlson83 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mhm, ich habe bis jetzt gedacht, das bei 3) N nur ein Element hat und bei 4 ) N beliebig viele hat. Aber durch deinen Denkanstoß, gleichen sich AUfgabe 3 und 4 ja dann,oder LG |
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| 19.04.2012, 18:24 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
In 3) steht mindestens ein Element. Das schließt auch alle weiteren beliebigen Fälle bis hin zu unendlichen Mengen mit ein. Deswegen weiß ich nicht, was da in 4) jetzt anders sein soll. Oder geht es da eigentlich um Surjektivität? |
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| 19.04.2012, 18:33 | Karlson83 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nee nee, beides Male Injektivität. Hab gerade nochmal nachgeschaut. Dann gleichen sich ja die Aufgaben |
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| 19.04.2012, 18:38 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zu 3) hat Totto-GE dir ja schon ein Beispiel genannt, das die Aufgabe vollständig löst. Edit noch zur 4): Also wenn man jetzt für N die leere Menge zulässt, dann kann man, sofern M nicht ebenfalls leer ist, eigentlich gar keine Abbildung definieren, also insbesondere auch keine injektive. Vielleicht geht's ja darum. |
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| 19.04.2012, 18:43 | Karlson83 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also stimmt diese Aussage dann? weil id ist ja identisch |
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| 19.04.2012, 18:45 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, 3) stimmt. Totto hat dir doch ein Beispiel dafür genannt! Eine solche Abbildung kann man immer konstruieren, völlig Banane, was M ist. Das muss auch nicht unbedingt die identische Abbildung sein. |
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| 19.04.2012, 18:49 | Karlson83 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke Mulder, aber eine Frage hätt ich noch, es ist doch egal was N ist oder? |
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| 19.04.2012, 18:50 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Diese Frage ist mir zu unpräzise, ich weiß weder, ob du das in Bezug auf 3) oder 4) meinst, noch, worauf du hinaus möchtest. Man kann N wählen, wie man will (im Rahmen der in der Aufgabe gestellen Bedingungen). |
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| 19.04.2012, 18:56 | Karlson83 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich hab mich auf 3 bezogen. da hast du geschrieben,das es völlig Banane ist, was ist M ist. Daraufhin war meine Frage. ob es nicht egal ist was N ist. aber es ist wahrscheinlich immer egal was M und N ist, durch das kartesische produkt ist hier das Entscheidene. LG |
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| 19.04.2012, 19:00 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, es ist egal, was M und was N ist - eine injektive Abbildung M -> M x N existiert immer. Hauptsache eben, N ist nicht leer. Aber das wird ja in der Aufgabe ausgeschlossen. M darf durchaus die leere Menge sein, aber N nicht. Übrigens ist mit "M x N" keine Matrix gemeint, sondern das karthesische Produkt der Mengen M und N. |
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| 19.04.2012, 19:02 | Karlson83 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das ist mir heute auch schon aufgefallen. Vielen Dank für eure Hilfe Mulder und Totte. |
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