negative potenzen, invertierbare matrizen

23.01.2007, 14:55

Taz

negative potenzen, invertierbare matrizen

Ich hab nur 2 Fragen, um meinen aktuellen übungszettel lösen zu können.

1.Sind alle Matrizen mit einer Determinante ungleich 0 invertierbar?

2.das a*a^-1=e gilt ist klar, aber wie siehts mi a^-2, a^-3, usw aus?und wie kann ich a^-1 noch darstellen?

23.01.2007, 15:05

Lazarus

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$\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ ist ja erstmal nur das Inverse zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .
Wenn man das für die Multiplikation nun hat, ist $\begin{eqnarray*} e=1 \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} a\cdot a^{-1}=1 \end{eqnarray*}$ gelten. Und wie muss $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ nun aussehen?

Wie sehen dann sie anderen aus ?

23.01.2007, 15:24

Taz

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ich soll in der aufgabe alle potenzen A^k mit k €Z berechne.Für positive k ist das nicht schwer, weil sich die potenzen wiederholen. aber wie siehts halt für die negativen potenzen aus?gilt zb für A^-2=1/a^2
oder ist a^-2 gar nicht definiert?

24.01.2007, 08:10

klarsoweit

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Ich denke, für positive k ist $\begin{eqnarray*} A^{-k} \end{eqnarray*}$ so definiert:
$\begin{eqnarray*} A^{-k} := (A^k)^{-1} \end{eqnarray*}$

Man kann sich leicht überlegen, daß gilt:
$\begin{eqnarray*} (A^k)^{-1} = (A^{-1})^k \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Taz
1.Sind alle Matrizen mit einer Determinante ungleich 0 invertierbar?

Ja.

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