Orthogonalität zwischen einer Geraden und einer Ebene

Neue Frage »

18.04.2012, 16:25	helen95	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalität zwischen einer Geraden und einer Ebene Meine Frage: In einer Ecke zwischen Haus und Garage muss das Fallrohr der Regenrinne im Erdreich erneuert werden. Dazu wird eine Grube ausgehoben und eine rechteckige Spanplatte als Wetterschutz darüber gestellt. Zur Stabilisierung soll im Diagonalenschnittpunkt M des Rechtecks der Spanplatte eine zur Platte orthogonale Stütze montiert werden. Wo ist ihr anderes Ende am Haus zu befestigen? Anleitung: Stellen Sie eine Gleichung der Geraden g durch M auf, für die gilt: g ist orthogonal zur Ebene durch die Punkte A, B, C und D. Meine Ideen: 1) Der Mittelpunkt M ist 0,5 Vektor a + 0,5 Vektor c --> M(80/80/80) 2) E : Vektor x = (160 100 0) + r* (-60 60 0) + s* (-160 -40 160) 3) Die beiden Richtungsvektoren der Ebene müssen orthogonal zu dem Richtungsvektor der Geraden sein. Also: (-1 1 0) * (n1 n2 n3) = 0 und (-4 -1 4) * (n1 n2 n3) = 0 --> n2 = 4 ; n1=4 ; n3=5 Das würde für mich die Geradengleichung Vektor x = (160 100 0) + t*(4 4 5) ergeben. Ist das richtig? Und wie komme ich nun genau auf die Beantwortung der Frage? Viele Grüße
18.04.2012, 16:36	helen1995	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mich jetzt richtig angemeldet! Das sind nötige Zusatzinfos: [attach]24035[/attach] Da ich gleich ein Spiel habe, kann ich erst relativ spät wieder hier vorbeischauen. Falls sich jemand mit dieser Aufgabe befasst, wäre es sehr, sehr cool, wenn er mir solche Hinweise gibt, die ich später auch ohne seine weitere Hilfe wahrscheinlich verstehe.. Nochmals viele Grüße!!!
18.04.2012, 16:51	iForReal	Auf diesen Beitrag antworten »
Mittelpunkt: Ich würde es etwas einfacher machen. Rechne den Vektor $\begin{eqnarray} \vec {AC} \end{eqnarray}$ aus. Dann kommst du zum Mittelpunkt wie folgt: $\begin{eqnarray} \vec {OM} = \vec {OA} + \frac {1}{2} \vec {AC} \end{eqnarray}$ Ist weniger zu rechnen Weiterhin zur Geraden. Wenn die Gerade, also die Stange, orthogonal zur Ebene sein soll, brauchst du den Normalenvektor $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ der Ebene. Hattest du schon das Kreuzprodukt? Das ist die einfachste Variante einen Normalenvektor einer Ebene zu finden Ein Normalenvektor ist $\begin{eqnarray} \vec n =\begin{pmatrix} 96\\96\\72\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Damit ist die Aufgabe eigtl. schon fast gelöst, denn du weist jetzt was der Stützvektor ist und hast auch den Richtungsvektor der Geraden. Jetzt musst du nur noch den Schnittpunkt mit der Wand berechnen (>Gleichsetzen) MfG ForReal
18.04.2012, 17:05	helen1995	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Kreuzprodukt hatten wir unter diesem Namen noch nicht! Kann man das nicht auch mit Determinanten lösen? x1 -60 -160 \| x1 -60 x2 60 -40 \| x2 60 x3 0 160 \| x3 0 (4x1 + x3) - (-4x3 - 4 x2) = 4x1 + 4x2 + 5x3 Wäre dann nicht auch (4 4 5) ein Normalenvektor?
18.04.2012, 17:09	iForReal	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Skalarprodukt der Vektoren ist null, also ja Ich habe es nur mit dem Kreuzprodukt gelernt und für mich geht's schneller Wenn du es so lösen kannst / willst ist es aber natürlich auch okay. MfG ForReal
18.04.2012, 17:13	helen1995	Auf diesen Beitrag antworten »
Super:-) Ist diese Geradengleichung Vektor x = (160 100 0) + t*(4 4 5) also schon mal richtig? Die setze ich nun mit der Ebenengleichung gleich?
Anzeige

18.04.2012, 17:16	iForReal	Auf diesen Beitrag antworten »
Jop Edit:// Mit der Ebenengleichung der Wand MfG ForReal
18.04.2012, 17:20	iForReal	Auf diesen Beitrag antworten »
Obwohl ich gerade sehe, dass der Normalenvektor vermutlich eher die x3-Achse durchstößt als die Wand in sich, jedoch probier's MfG ForReal
18.04.2012, 17:26	helen1995	Auf diesen Beitrag antworten »
Also zum Beispiel mit: E : Vektor x = (1 0 4) + r * (0 0 -4) + s* (-1 0 -4) ?
18.04.2012, 17:32	iForReal	Auf diesen Beitrag antworten »
Viel zu umständlich Wenn die Wände die Koordinatenachsen sind, gibt es hierbei 2 Gleichungen: $\begin{eqnarray} E_{x_1x_3}:\vec {OX}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und eben die x2-x3: $\begin{eqnarray} E_{x_2x_3}:\vec {OX}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix}+a\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Setz mal gleich. Sollte $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ die x3-Achse schneiden, ist es egal, welche Ebenengleichung du benutzt. MfG ForReal

Neue Frage »

Antworten »

Orthogonalität zwischen einer Geraden und einer Ebene

Verwandte Themen