Anfangswertproblem Aufgabe

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
Anfangswertproblem Aufgabe
Meine Frage:
Hallo Leute, ich möchte gerne folgendes Anfangswertproblem lösen:

ist ja das gleiche wie:



und es gilt:




Meine Ideen:
Ich habe nach dem ich das Verfahren "Separation der Variablen" durchgeführt habe die Lösung:

Diese Lösung ist ja noch in impliziter Form!

Wie kann ich da jetzt weiter machen? Ich kenne mich mit Anfangswertproblemen noch nicht aus!

Ich denke mal ich brauche die Funktion y in expliziter Form oder? Und dann muss ich mein C irgendwie so anpassen, dass eben gilt oder?

Danke für die Hilfe!
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

denk doch mal an die Logarithmusregeln und dann geht es weiter. Augenzwinkern
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das versuche ich gerade, also:





so wenn ich jetzt mal meine Anfangsbedingung verwende um C zu bestimmen, dann bekomm ich doch: (oder ist das noch zu früh)

wegen setze ich für x = 0 ein und bekomme:



hier bin ich mir ziemlich unsicher, wie was einsetzen muss: also für x die Null, das leuchtet mir ein und lasse ich y einfach stehen oder schreibe ich dann y_0.. aber ich denke mal das passt so, denn wenn ich x = 0 habe, dann ist y ja im Grunde y_0..

Also habe ich mein C bestimmt und dann habe ich versucht weiter aufzulösen, so dass ich y in expliziter Form erhalte:







dann habe ich mal mit (y+1) multipliziert und den e^log aufgelöst:



Also das fühlt sich schon bisschen falsch, an den ich bekomm das nicht richtig auf ne explizite Form

Stimmt es bis hier oder bin schon länger falsch??


Edit: Kann sich das vielleicht noch mal wer ansehen?? Danke dafür!
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Kann sich das noch mal wer ansehen bitte.. Danke dafür!!!
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »



Dann kannst du auch nach y auflösen.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich denn:

und kürzen??
 
 
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von steviehawk

liefert ( mit ):



Jetzt lös nach y auf und mach das mit dem Anfangswert am Schluss. In deinem vorletzten Beitrag, das war irgendwie alles unstrukturiertes Gewusel.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

So dann habe ich für y:



und jetzt muss ich mein c so bestimmen, dass die Anfangsbedingung erfüllt ist oder? Und ich muss das maximale Existenzintervall bestimmen..

Ich habe aber noch keine Ahnung, was mit dem Existenzintervall überhaupt gemeint ist!

Also wenn ich mal die AWB verwende:

bekomme ich:

so jetzt sehe ich, dass mein c z.B nicht 1 sein darf,

ich bekomme explizit für

muss ich noch eine Fallunterscheidung machen? so was habe ich mal gesehen

Danke
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von steviehawk
Also wenn ich mal die AWB verwende:

bekomme ich:


Das bekomme ich nicht.

Ansonsten wird es danach darum gehen, das maximale Intervall zu suchen, auf dem die Funktion y definiert ist (und zwar in der Umgebung um 0).
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

okay, c müsste wohl eher:

sein..

dann habe ich für y:



und jetzt schaue ich, dass diese Funktion für möglichst viele x definiert ist und gebe dann das Existenzintervall an.. oder?
KnowingLizard Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe zu dem Thema auch mal eine Frage: Die Logarithmen oben kommen ja letztlich von der Integration von 1/x, allerdings ist davon ja eigentlich log(|y|) die Stammfunktion, oder nicht? Aber wie kann ich diese Beträge bei der Lösung der DGL berücksichtigen? Inbesondere, da ja nachher beim Auflösen nach y ich diese Betragsstriche irgendwie loswerden muss...

Und mich würde auch noch interessieren, was man tun muss, wenn man die Lösung eines Anfangswertproblems hat und dann deren "maximalen Existenzintervall" bestimmen soll.

Vielen Dank für Eure Hilfe Wink
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Also zum Existenzintervall, ich verstehe das so:

Ich habe eine Lösung raus und jetzt muss ich den maximalen Definitionsbereich in Form eines Intervalls angeben..

Mal ein einfaches Beispiel:

die DGL



hat die Lösung:



so jetzt möchte ich den maximalen Defi.bereich bestimmen..

Ich sehe natürlich, dass der Nenner für gleich Null ergibt, also nicht definiert ist. Man könnte sagen y(x) ist auf definiert.

Das schreibe ich in Intervallen:







Jetzt muss ja noch das AWP gelöst sein..

Also kommt hie nur das Intervall in Frage..

Also löst das AWP mit maximalem Existenzintervall


So das muss man jetzt eben auf die entsprechende Aufgabe anwenden!!
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