Näherungswert für Punkt bei 4 gegebenen Punkten bestimmen |
| 18.04.2012, 18:37 | eintopf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Näherungswert für Punkt bei 4 gegebenen Punkten bestimmen Gegeben sind folgende Punkte: x | y -1 | -2.24 0 | 0 1 | 0.24 2 | 4.48 Gesucht wird eine Näherung für den Punkt f(0,5). Einzige Bedingung dabei ist, dass eine Funktion aus den gegebenen Punkten monoton steigend sein muss. Meine Ideen: Ich habe bereits eine Interpolarisation durchgeführt. Man erhält auch einen Wert für x=0,5 , jedoch ist die Funktion nicht monoton steigend. Ohne das Erstellen einer Funktion, wüsste ich aber nicht, wie ich mich dem Punkt nähern sollte. |
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| 18.04.2012, 19:35 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
muss die Funktion die Punkte enthalten ( Interpolation ) oder darf es auch eine möglichst gute Approximation sein ? |
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| 18.04.2012, 19:42 | thk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kann es eine bessere Interpolation als die kubische aus den gegebenen Werten geben 
Und wenn diese den 'verbotenen Wert y=-0,005 liefert, dann müsste doch eine Lösung sein, optimal y=0 ?! |
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| 18.04.2012, 20:02 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@thk: Das läuft ja auf die Frage hinaus, ob eine Funktion mit "üblicher Funktionsvorschrift" gemeint ist oder nicht. Ich bin da auch deiner Meinung, dass man die erhaltene Funktionsvorschrift eines kubischen Polynoms in einem gewissen Intervall auf Null anheben kann, damit die Vorgabe der Monotonie eingehalten werden kann. Die Approximation ist wohl doch nicht gemeint (?) |
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| 18.04.2012, 21:38 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du derartige Freiheiten hast, dann wähle doch eine stückweise lineare Funktion - mit anderen Worten: Verbinde die Punkte einfach durch Strecken, was dann auf hinausläuft. 
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| 18.04.2012, 22:12 | thk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für eine lineare Interpola wären doch die anderen Punkte nicht gegeben
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| 18.04.2012, 22:15 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mag sein, dass die dafür nicht gebraucht werden, aber ich habe mich an den Satz "Einzige Bedingung ist..." gehalten. Jedenfalls ist dieser Satz kein Grund für Scheuklappen der Art "Es muss unbedingt ein Polynom sein" o.ä. |
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| 19.04.2012, 09:53 | thk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hab nochmal drüber nachgedacht... Gesucht ist eine Funktion, die durch die geg. Punkte läuft und m. wachsend ist. Eine kubische funktion leistet das nicht. Aber die Bedingungen f(-1) = -2.24 f(0) = 0 f(1) = 0,24 f(2) = 4,48 f'(1/2) = 0 f"(1/2) = 0 liefern eine Kurve 5. Ordnung, die trivial durch alle Punkte geht: f(x) = x/5(4/45x^4+ 7/9x^3+ 3x^2- 52/9x+ 28/9) mit f(0,5)=0.1075=43/400 ... und monoton wächst: f '(x) = 4/45x^4+28/45x^3+9/5x^2-104/45x+28/45 = 1/45(x-0.5)^2(4x^2+32x+112) hat neben der doppelten Nst nur noch 2 komplexe 
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| 19.04.2012, 15:59 | eintopf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die Antworten. Die Aufgabe hat im Original zwei Teile. Im ersten Teil sollte man einen Näherungswert für f(0.5) mit Hilfe der kubischen Interpolarisation berechnen. Die erhaltene Funktion war jedoch nicht die gewünschte Form des Aufgabenstellers :-P Also soll man im zweiten Teil begründen, warum die KI nicht geeignet ist, wenn bekannt ist, dass die Funktion monoton wächst. Die Antwort von thk klingt logisch. Hast du die Funktion mit dem Gauß-Algorithmus gelöst? |
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| 19.04.2012, 20:35 | thk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beim Lösen des LGS (Aufstellen der f(x)) habe ich mich des Tools von Arndt Brünner bedient. Bis 4. Ordnung hab ich mein eigenes Excel-Tool und bin damit schnell zu der Einsicht gelangt, dass sich f' im Tief iwie nicht über -0,01 heben lässt. Bei einer kubischen wäre man ohnehin zu Zugeständnissen in der Genauigkeit gezwungen. Die 4 geg. Punkte bewirken eine Monotonie-Umkehr. Ohne die beiden weiteren Bedingungen (-> 5. Ordnung) ist es wahrscheinlich nicht möglich, wie gesagt. |
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