Randverteilung plus ...

23.01.2007, 16:02

schlomo76

Randverteilung plus ...

Ich soll die Randverteilung für eine zweidimensionale exponentialverteilte Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} (A_1,A_2) \end{eqnarray*}$ mit den Parametern $\begin{eqnarray*} (\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) \end{eqnarray*}$ ermitteln und ich habe keine Vorstellung, wie ich vorgehen soll. Könnt Ihr mir helfen?

Die Verteilungsfunktion sei wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} F(a_1,a_2)=\begin{cases}1-e^{-(\lambda_1+\lambda_3)a_1}+e^{-(\lambda_2+\lambda_3)a_2}-e^{-\lambda_1a_1-\lambda_2a_2-\lambda_3max\{a_1,a_2\}} &a_1 > 0,a_2 > 0 \\0&sonst\end{cases} \end{eqnarray*}$

Danke

EDIT: Hab noch einen Fehler in der Formel bereinigt.

23.01.2007, 16:09

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Zitat:

Original von schlomo76
Ich soll die Randverteilung für eine zweidimensionale exponentialverteilte Zufallsvariable

Ist das ein "offizieller" Name für diese Verteilung? Ich frage nur, weil mir die noch nie untergekommen ist... hat aber nix zu sagen.

Ok, die Randverteilung wird wie immer berechnet:

$\begin{eqnarray*} F_{X_1}(a_1) = \lim\limits_{a_2\to\infty} ~ F_{X_1,X_2}(a_1,a_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F_{X_2}(a_2) = \lim\limits_{a_1\to\infty} ~ F_{X_1,X_2}(a_1,a_2) \end{eqnarray*}$

Folgt doch direkt aus der Definition der Verteilungsfunktion:

$\begin{eqnarray*} F_{X_1}(a_1) = P(X_1\leq a_1) = P(X_1\leq a_1,X_2\in\mathbb{R}) = \lim\limits_{a_2\to\infty} ~ P(X_1\leq a_1,X_2\leq a_2) \end{eqnarray*}$

Letztere Gleichheit beruht auf der Maß-Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ .

23.01.2007, 16:26

schlomo76

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Gut, das verstehe ich noch, aber wie berechnich aus diesem Monster von Formel den Grenzwert?

$\begin{eqnarray*} F_{X_1}(a_1) = \lim\limits_{a_2\to\infty} ~ 1-e^{-(\lambda_1+\lambda_3)a_1}+e^{-(\lambda_2+\lambda_3)a_2} -e^{-\lambda_1a_1-\lambda_2a_2-\lambda_3max\{a_1,a_2\}} \end{eqnarray*}$

23.01.2007, 17:09

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Die drei $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 's sind doch sicher positiv, oder? Als Zwischenrechnung:

Wie groß ist denn für positives $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} ~ e^{-\lambda x} = ? \end{eqnarray*}$

Leichter geht's kaum bei der Grenzwertbestimmung.

23.01.2007, 18:22

schlomo76

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Stimmt, so wird schon viel einfacher.

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} ~ e^{-\lambda x} = 0 \end{eqnarray*}$

wenn ich richtig vermute ist $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} ~ max\{a_1,a_2\}=\infty \end{eqnarray*}$

ergo ist

$\begin{eqnarray*} F_{X_1}(a_1) = 1 -e^{-(\lambda_1+\lambda_3)a_1} + 0 - 0 = 1-e^{-(\lambda_1+\lambda_3)a_1} \end{eqnarray*}$

Richtig?

23.01.2007, 19:46

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Richtig.

23.01.2007, 22:20

schlomo76

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plus ...
Nun gibt es noch einen Zusatz.

Es soll gezeigt werden, daß $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ unabhängig und exponentialverteilt sind, wenn $\begin{eqnarray*} \lambda_3=0 \end{eqnarray*}$ .

Was muß ich dafür unternehmen?

23.01.2007, 22:41

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Unabhängigkeit ist genau dann gegeben, wenn

$\begin{eqnarray*} F_{X_1,X_2}(a_1,a_2) = F_{X_1}(a_1) \cdot F_{X_2}(a_2) \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} a_1,a_2 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist. Dazu hast du ja schließlich die Randverteilungen ausgerechnet. Augenzwinkern

Im übrigen denke ich, dass in deiner Formel oben immer noch ein Fehler ist: Denn die Randverteilung bzgl. $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ lautet gegenwärtig

$\begin{eqnarray*} F_{X_2}(a_2) = 1+e^{-(\lambda_2+\lambda_3)a_2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a_2>0 \end{eqnarray*}$ ,

was einem stochastischen Kapitalverbrechen gleichkommt: Eine Wahrscheinlichkeit größer als Eins. Kotzen

Die vermutlich gemeinte Variante wird wohl

$\begin{eqnarray*} F(a_1,a_2)=\begin{cases}1-e^{-(\lambda_1+\lambda_3)a_1}-e^{-(\lambda_2+\lambda_3)a_2}+e^{-\lambda_1a_1-\lambda_2a_2-\lambda_3max\{a_1,a_2\}} &a_1 > 0,a_2 > 0 \\0&sonst\end{cases} \end{eqnarray*}$

sein.

23.01.2007, 23:25

schlomo76

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Deine Vermutung stimmt genau. Ich hätt's übersehen.

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