Winkelfunktionen in quadratischer Pyramide

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18.04.2012, 20:01	Tobias-H	Auf diesen Beitrag antworten »
Winkelfunktionen in quadratischer Pyramide Meine Frage: Also, ich habe eine quadratische Pyramide und weiß nur 2 Dinge die gegeben sind....nämlich Alpha=40° und hs=17cm. Daraus soll ich die Höhe berechnen. Meine Ideen: Ich bin noch auf garkeine Idee gekommen wie ich daraus auf die Höhhe komme. Aber mir ist klar das es über einige Umwege gehen wird.
18.04.2012, 20:25	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn h = Raumhöhe b= a/2 = halbe Grundseite ( wegen einfacherer Schreibweise beim Pythagoras ) k=Kante ist, dann würde ich erstmal eine Relation mit $\begin{eqnarray} h_s, b,h \end{eqnarray}$ und eine mit $\begin{eqnarray} k, h_s, b \end{eqnarray}$ und eine mit $\begin{eqnarray} k, h \end{eqnarray}$ aufstellen. Zur Vereinfachung dann nicht allgemein rechnen, sondern vorgegebene Werte auch gleich verwenden. Dann schauen was sich eliminieren, respektive berechnen lässt. Das ist aber kein "zwingender" Weg.
18.04.2012, 20:52	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Vorschlag mit den Bezeichnern von Dopap: $\begin{eqnarray} K^2=b^2+h_{s}^2 <br /> cos(\alpha )=\frac{b\cdot \sqrt{2} }{K} \Rightarrow <br /> K^2=\frac{2b^2}{cos^2(\alpha )} \end{eqnarray}$ Durch Gleichsetzen und Ausklammern kannst du b isolieren. Damit bekommst du ganz leicht h.
18.04.2012, 21:04	Tobias-H	Auf diesen Beitrag antworten »
aber es ist doch nur hs gegeben und der Winkel Alpha
18.04.2012, 21:09	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
... und dass die Grundseite quadratisch ist. Kannst du damit meinen Gleichungen folgen (Pyt...) ?
18.04.2012, 21:24	Tobias-H	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein leider nicht. Mann könnte es ja in 2 Dreiecke aufteilen. Dann hätte ich das eine Dreieck mit Alpha 40° und der gemeinsamen Seite h und das andere Dreieck mit der Länge hs und der Seite h.
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18.04.2012, 21:32	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} K^2=b^2+h_{s}^2 \end{eqnarray}$ mit Pythagoras, Teildreieck einer Seitenfläche. $\begin{eqnarray} cos(\alpha )=\frac{b\cdot \sqrt{2} }{K} \end{eqnarray}$ : Betgrachte dazu das vordere b-Quadrat (1/4 der Grundfläche). Die Diagonale hat die Länge $\begin{eqnarray} \sqrt{b^2+b^2} =b\cdot \sqrt{2} \end{eqnarray}$ Dann: cos = Ank. / Hyp. soweit klar?
18.04.2012, 21:41	Tobias-H	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein...ich verstehe momentan einfach nicht wie ich auf b komme. Also woher ich die Zahl bekomme die ich für b einsetzen muss. Und mit K ist jetzt Welche Kante genau gemeint ?
18.04.2012, 22:00	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
K ist eine der 4 Seitenkanten. Oft auch mit S bezeichnet. Das sind die Kanten, die man von oben quasi als Diagonalen sieht. $\begin{eqnarray} K^2=b^2+h_{s}^2 <br /> K^2=\frac{2b^2}{cos^2(\alpha )} \end{eqnarray}$ Jetzt kannst du gleichsetzen: $\begin{eqnarray} b^2+h_s^2 = \frac{2b^2}{cos^2(\alpha )} \end{eqnarray}$ Alle b^2-Ausdrücke nach links, b^2 ausklammern...
18.04.2012, 22:22	Tobias-H	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja wir verwenden auch s ... Aber ich kann doch b^2 nicht komplett ausklammern?? Oder ? Aber auf jedenfall wird es mir schon mal klarer wie ich vorgehen muss... dafür schonmal danke
18.04.2012, 22:34	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} b^2+h_s^2 = \frac{2b^2}{cos^2(\alpha )} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b^2(1- \frac{2}{cos^2(\alpha )})=-h_s^2 \end{eqnarray}$ Jetzt durch die Klammer dividieren, Wurzel Aber b^2 reicht eigentlich zur Berechnung von h. LG
18.04.2012, 22:42	Tobias-H	Auf diesen Beitrag antworten »
Entweder übersehe ich grad etwas bei den Lösungen...weil ich weiß ja nur das es eine quadratische Grundfläche ist und nicht wie groß diese ist. Also müsste ich ja zuerst ausrechne wie groß die Grundfläche ist und somit wie groß b^2 ist.
18.04.2012, 22:46	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Größe der Grundfläche ist 4b^2. Die bekämest du über b also raus, brauchst du aber nicht. Mit der Gleichung kannst du sofort b^2 ausrechnen, weil h_s und alpha gegeben sind. Mit Pyt. dann h.
18.04.2012, 22:51	Tobias-H	Auf diesen Beitrag antworten »
und das funktioniert obwohl Alpha nicht im gleichen Dreieck ist wie h s ? Wenn ja müsste ich es jetzt verstanden haben.
18.04.2012, 22:54	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Alpha ist in einem rechtwinkligen Dreieck. Ich hab die cos-Beziehung oben hergeleitet. Und ja, es funktioniert und es kommen in sehr guter Genauigkeit schöne runde Werte raus.
18.04.2012, 23:06	Tobias-H	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut jetzt versteh ichs. Vielen dank
18.04.2012, 23:08	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne Kannst ja noch dein Ergebnis posten...
18.04.2012, 23:12	Tobias-H	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich komme auf h=13 hoffe das stimmt
18.04.2012, 23:17	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Jep 13 stimmt
18.04.2012, 23:23	Tobias-H	Auf diesen Beitrag antworten »
Juhu dank der sehr genauen Erklärung
18.04.2012, 23:27	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne Schön dass du es hinbekommen hast.
19.04.2012, 15:47	ensslin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe da eine Frage zu dem Ausklammern. Wie genau bist du da vorgegangen thk??
19.04.2012, 19:14	Tobias-H	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist eig eine gute Frage
19.04.2012, 20:17	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} b^2+h_s^2 = \frac{2b^2}{cos^2(\alpha )} \end{eqnarray}$ (gleichsetzen) ist es soweit erst mal klar? $\begin{eqnarray} b^2 - \frac{2b^2}{cos^2(\alpha )} = - h_s^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b^2(1-\frac{2}{cos^2(\alpha )}) = - h_s^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b^2 = \frac{- h_s^2}{1-\frac{2}{cos^2(\alpha )}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b^2 = \frac{ h_s^2}{\frac{2}{cos^2(\alpha )}-1} \end{eqnarray}$ LG
19.04.2012, 20:25	Tobias-H	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das war klar. $\begin{eqnarray} b^2 - \frac{2b^2}{cos^2(\alpha )} = - h_s^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b^2(1-\frac{2}{cos^2(\alpha )}) = - h_s^2 \end{eqnarray}$ nur von diesem schritt auf diesen war mir nicht klar..der rest ist auch wieder klar.
19.04.2012, 20:40	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schreibe es mal etwas um: $\begin{eqnarray} b^2 - b^2 \cdot \frac{2}{cos^2(\alpha )} = - h_s^2 \end{eqnarray}$ In jedem Summanden links vom = steckt b^2. Daher kann ich es ausklammern.
19.04.2012, 20:56	Tobias-H	Auf diesen Beitrag antworten »
okey..mich wundert diese 1- den bruch so ein bisschen
19.04.2012, 20:59	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gefällt dir dieses Angebot ? $\begin{eqnarray} b^2 + b^2 \cdot \frac{-2}{cos^2(\alpha )} = - h_s^2 \end{eqnarray}$
19.04.2012, 21:27	Tobias-H	Auf diesen Beitrag antworten »
ist doch schon schöner danke
19.04.2012, 21:28	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Als nächstes wären Farben ins Spiel gekommen und dann die 3D-Effekte Gern geschehen!
19.04.2012, 21:32	Tobias-H	Auf diesen Beitrag antworten »
Okey dann hab ichs vieleicht doch nicht verstanden nein spaß
19.04.2012, 21:55	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Der war gut und verdient noch eine letzte Zugabe: $\begin{eqnarray} b^2 \cdot {\color{red}1} + b^2 \cdot {\color{red}\frac{-2}{cos^2(\alpha )}} = - h_s^2 \end{eqnarray}$

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