Raum auf Vollständigkeit prüfen

18.04.2012, 22:58	Thunder1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Raum auf Vollständigkeit prüfen Hallo Ich habe 4 Räume gegeben und zwar: $\begin{eqnarray} E_{1}= [0,\infty) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E_{2}= (0,\infty) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E_{3}= \mathbb N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E_{3}= \left\{n+\frac{1}{n}, n \in \mathbb N\right\} \end{eqnarray}$ Jeweils mit der Metrik: [latex]d(x,y)=\| x-y\| [\latex] Und jetzt soll geprüft werden welche Räume vollständig sind und welche nicht. E1 würde ich sagen ist vollständig da ja jede Cauchyfolge konvergent ist in diesen Raum. Allerdings glaub ich nicht dass das als Begründung reicht. E2 ist nich vollständig da z.B. der Grenzwert der Folge 1/n für n gegen undendlich nicht in der Menge enthalten ist. Bei den anderen beiden fehlt mir jedliche Idee. Könnt ihr mir da paar Denkansprüche geben? MfG
18.04.2012, 23:08	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wie wäre es mit: Abgeschlossene Teilmengen vollständiger Räume, sind wieder vollständig. Damit dieser Hinweis einfacher als die Definition ist, solltest du aber wissen, welcher der Räume abgeschlossen ist. Für $\begin{eqnarray} E_3 \end{eqnarray}$ würde ich jedoch aufjedenfall eine expizite Untersuchung durchführen. Denn da gibt es noch einen interessanten Lerneffekt meiner Meinung nach. Nimm dir dazu eine Cauchy Folge her und benutze die Definition mit hinreichend kleinem Epsioln. (Wie klein findest du raus). Was passiert dann? mfg
18.04.2012, 23:11	Thunder1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das hilft mir schon. Also da die reellen Zahlen abgeschlossen sind und E1 ja eine abgeschlossene Teilmenge ist, ist E1 also vollständig. So und E2 dann demnach nicht. Naja bei E3 kann Epsilon doch nicht kleiner als 1 werden oder?
19.04.2012, 18:28	Thunder1990	Auf diesen Beitrag antworten »
So bin jetzt zu folgendem vorläufigen Ergebnis gekommen: E1 ist vollständig wegen dem vorher genannten Argument dass E1 abgeschlossen ist, eine Teilmenge von R ist und somit vollständig. E2 ist nicht vollständig, da z.b. eine Cauchyfolge mir Grenzwert 0 existieren kann, welcher aber nicht in E2 liegt. E3 ist ebenfalls vollständig und E4 auch. Stimmt das soweit?

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