Fourier-Reihe berechnen

18.04.2012, 23:05

MoCas

Fourier-Reihe berechnen

Meine Frage:
Hey Leute,

und zwar wurde mir eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{pmatrix} 0, fuer -\pi \leq x\leq 0 \\ \frac{4}{\pi }x, fuer 0<x<\pi \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gegeben. Und nun soll ich die dazugehörige Fourier-Reihe bestimmen.

Meine Ideen:
Dabei muss ich ja die Koeffizienten bestimmen. So zum Beispiel für

$\begin{eqnarray*} a_{0} = \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} \! f(x) \, dx = \frac{1}{\pi}( \int_{- \pi}^{0} \! 0 \, dx + \int_{0}^{\pi} \! \frac{4}{\pi }x \, dx)= 2 \end{eqnarray*}$ .

Das mache ich dann für alle Koeffizienten und dann komm ich auf:

$\begin{eqnarray*} f(x)=1+\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{4(cos(n\pi )-1)}{n^{2}\pi ^{2}} cos(nx) - \frac{4cos(n\pi )}{n\pi } sin(nx) \end{eqnarray*}$

Ist das der richtige Lösungsweg???

Danke smile

19.04.2012, 00:29

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Yup, hab ich auch so Freude

.

Dein $\begin{eqnarray*} cos(n*\pi) \end{eqnarray*}$ würde ich vllt aber als $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ umschreiben Augenzwinkern

19.04.2012, 10:49

MoCas

Auf diesen Beitrag antworten »

He cool danke!

Aber nun hab ich ein weiteres Problem mit einer anderen Aufgabe(nstellung):

Es sei: $\begin{eqnarray*} 0<h<\pi \end{eqnarray*}$ Und die Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{pmatrix} 1, fuer 0 \leq x\leq h \\ 0, fuer h<x<\pi \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Funktion soll ich in eine Fourier-Reihe entwickeln, die keine Sinusglieder enthält.
Als Hinweis wurde mir gegeben, dass dass ich die Funktion erst so fortsetzen soll, dass eine 2pie periodische, gerade Funktion entsteht. Danach soll ich erst die Fourier reihe erstellen.

Aber die Aufgabenstellung versteh ich gar nicht. Wie setzt ich die denn fort dass eine gerade Fktn. entsteht?

19.04.2012, 11:49

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Sinusglieder bedeutet für dich, dass du eine gerade Funktion brauchst.
Also die Eigenschaft f(-x)=f(x) besitzt.

Ich zeige dir das mal Anhand einer Skizze:

[attach]24054[/attach]

Damit sollte das Problem klar sein, oder? Hast ja am Anfang auch gut hinbekommen Freude

.

Bin für heute vollens weg. Es darf gerne wer anderes weitermachen, falls noch Fragen offen sind.

Wink

19.04.2012, 12:28

MoCas

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah cool! Das hat sehr zum Verständnis beigetragen!

Also rechne ich zum Beispiel für $\begin{eqnarray*} a_{0} = \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} \! f(x) \, dx = \frac{1}{\pi}( \int_{- \pi}^{-h} \! 0 \, dx + \int_{-h}^{h} \! 1 \, dx + \int_{h}^{\pi } \! 0 \, dx)= \frac{2h}{\pi } \end{eqnarray*}$ . ?

Das selbe dann für $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ .

Und dann komme ich auf: $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{h}{\pi } + \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2sin(hn)}{n\pi } cos(nx) \end{eqnarray*}$

Ist dann die Aufgabenstellung erfüllt? Weil Ich sollte es ja ohne sinusglieder schreiben. Und den Sinus den ich da noch drin hab ist ja kein Glied. Richtig?

Mach dir einen schönen Tag, Equester.
Danke für die riesen Hilfe! Freude

19.04.2012, 13:32

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Den Nachmittag über bin ich doch noch da smile

.

Ja, das kann ich so bestätigen. Hab ich genauso Freude

20.04.2012, 14:52

Taxo Tic

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

könntest du mir erklären, wie man bei Aufg. 1 auf das 2. Glied $\begin{eqnarray*} a_{k} * \cos(2kx) \end{eqnarray*}$ kommt?

Vor der Integration habe ich: $\begin{eqnarray*} \frac{8}{\pi } *\int_a^b \! x*\cos(2kx) \, dx \end{eqnarray*}$

Online integriert: $\begin{eqnarray*} \frac{8}{\pi^{2} } \left[\frac{2kx*\sin(2kx)+\cos(2kx) }{4k^{2} } \right]_{b}^{a} \end{eqnarray*}$

Obergrenze eingesetzt... und dann habe ich immer noch den sinus mit drin sowieso das 2kx....dachte vielleicht mit Additionstheoremen den sinus umschreiben, bin damit aber zu keiner Lösung gekommen....

Danke!

Grüße

20.04.2012, 15:05

Taxo Tic

Auf diesen Beitrag antworten »

ahh ich habs Hammer

20.04.2012, 16:13

Taxo Tic

Auf diesen Beitrag antworten »

MoCas, kann es sein, dass Du BMT/MB an der Uni Rostock studierst? Die Aufgaben sind mit meinem identisch...

Bei der Aufgabe 3. ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)= \sin(x) - \cos(3x) \end{eqnarray*}$ gegeben, die mit der Periode $\begin{eqnarray*} 2*\pi \end{eqnarray*}$ fortesetzt wird.

Mein Ansatz wäre, die Funktion nach $\begin{eqnarray*} f(x)=g(x)-h(x) \end{eqnarray*}$ zu trennen und anschließend unabhängig voneinander zu bearbeiten, sodass $\begin{eqnarray*} cos \end{eqnarray*}$ gerade ist und damit $\begin{eqnarray*} b_{k}=0 \end{eqnarray*}$ und bei $\begin{eqnarray*} sin \end{eqnarray*}$ folgt dann $\begin{eqnarray*} a_{k}=0 \end{eqnarray*}$ ...

Aber da kommt dann ja immer 0 raus....also habt ihr einen besseren Tip für mich?

Danke!

20.04.2012, 16:31

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Willkommen im Forum.

Es ist prinzipiell geschickter, bei einer neuen Frage einen neuen Thread aufzumachen. Diesen Thread lese ich nur zufällig, die meisten Helfer anderen wohl gar nicht, weil er ja schon bearbeitet wird.

Aber Du hast den Neulingsbonus:

Zitat:

Original von Taxo Tic
Bei der Aufgabe 3. ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)= \sin(x) - \cos(3x) \end{eqnarray*}$ gegeben, die mit der Periode $\begin{eqnarray*} 2*\pi \end{eqnarray*}$ fortesetzt wird.

Da kann man die Koeffizienten doch gleich hinschreiben. Eine Sinusschwingung mit der Grundfrequenz und eine negative Cosinusschwinung der dreifachen Grundfrequenz überlagert. Das war's schon, da kann auch Herr Fourier nicht mehr rausholen. Gleichanteil gibt's auch keinen, so schreibst Du einfach a3 und b1 hin.

Viele Grüße
Steffen

Neue Frage »

Antworten »

Fourier-Reihe berechnen

Verwandte Themen