Fourierreihe und kein Plan

19.04.2012, 10:46

Scraptor

Fourierreihe und kein Plan

Hallo Leute,
ich versuche mich eben ein wenig un Fourierreihen einzuarbeiten und in Fouriertransformationen.

Allerdings versteh ich nur Bahnhof und weiß nicht mal wie ich ansetzen soll.

Könnt ihr mir weiterhelfen?

[attach]24053[/attach]

19.04.2012, 12:40

Steffen Bühler

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RE: Fourierreihe und KEIN Plan ! :-)
Dein f(t) sieht um Null herum so aus:

Das wird dann periodisch fortgesetzt, die Periode ist also 4. Eine gerade Funktion, wie Du sicher siehst. Gleichanteil hat sie auch.

Jetzt setze f(t) in die Fourierformel ein.

Viele Grüße
Steffen

19.04.2012, 13:10

Scraptor

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Wenn Ich dann a0 ausrechen möchte lautet die formel folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} a0 = 2/4 \int_0^4 \! t-2 \, dt \end{eqnarray*}$

19.04.2012, 13:33

Steffen Bühler

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Nein, von Null bis 4 kommt Null raus, da heben sich ja positive und negative Flächen auf. Du mußt schon von -2 bis +2 integrieren, so wie ich's gezeichnet habe. Du kannst die Fläche aber auch direkt aus meiner Zeichnung ablesen und durch die Periode teilen, dann sparst Du Dir das Integral.

Es ist ja einfach eine um diesen gesuchten Gleichanteil a0/2 abgesenkte Dreiecksschwingung. Siehst Du den Gleichanteil?

Viele Grüße
Steffen

19.04.2012, 14:10

Scraptor

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Ok, soweit hab ichs verstanden!

Jetzt stellt sich mir die Frage wie ich im Allgemeinen a0 berechenen kann,wenn ich die Fläche nicht einfach so herauslesen kann.

Welche Formel nimmst du da? Im Internet und in Fachbüchern finde ich mehrere Formeln dazu.

19.04.2012, 14:20

Steffen Bühler

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Der Gleichanteil einer periodischen Funktion wird berechnet, indem man das Integral über eine ganze Periode berechnet und durch diese Periode teilt.

Sagen wir mal, wir haben periodische Parabeln mit der Periode 2. Eine Periode sieht dann z.B. so aus:

Wir wollen also den Gleichanteil dieser Parabel ausrechnen. Na denn:

$\begin{eqnarray*} \frac {\int_{-1}^1 \! x^2 \, dx}{2} \end{eqnarray*}$

Da sollte $\begin{eqnarray*} \frac 1 3 \end{eqnarray*}$ rauskommen. Und das ist der Gleichtanteil $\begin{eqnarray*} \frac {a_0}2 \end{eqnarray*}$ .

Viele Grüße
Steffen

19.04.2012, 14:38

Scraptor

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Ich glaube mein größtes Problem liegt im Integrieren der Betragsfunktion!

Denn Wenn ich versuche a0 zu berechnen bekomme ich immer das doppelte von dem was ich eigentlich erhalten sollte!

Kannst du mir trotzdem noch bitte deine a0 Formel angeben.

Möchte ja im allgemeinen mit dem Thema Fourierreihen zurechtkommen.

Ist den so eine Betragsfunktion eher ein Sonderfall?

19.04.2012, 14:53

Steffen Bühler

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Du mußt hier wegen der Betragsfunktion abschnittsweise integrieren, um das Gesamtintegral zu erhalten. Man könnte natürlich auch die Symmetrie ausnutzen, aber wir tun mal so, als ob wir die nicht gesehen haben:

$\begin{eqnarray*} \frac {a_0}2 = \frac {\int_{-2}^0 \! (-x-2) \, dx + \int_0^2 \! (x-2) \, dx }4 \end{eqnarray*}$

Als Sonderfall würde ich Betragsfunktionen in der Fourieranalyse nicht bezeichnen, über Dreiecksschwinungen wirst Du immer wieder stolpern. Und die lassen sich nun mal am besten so beschreiben, wenn's nicht abschnittsweise geschieht.

Viele Grüße
Steffen

19.04.2012, 15:50

Scraptor

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Ok soweit habichs nun verstanden.

Jetzt will ich $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ ausrechenen.

Im Anhang kann man sehen welche Formel ich dazu verwenden möchte.

Allerdings habe ichja dann ein Produkt im Integral. Geh ich richtig in der Annahme dass ich dan die partielle Integrtion anwenden muss?

Das würde ja den Rahmen der Aufgabe völig sprenegen und wäre mega zeitaufwendig.

[attach]24060[/attach]

19.04.2012, 16:14

Steffen Bühler

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Integralrechnung ist bei mir eine Zeitlang her, aber in meiner Formelsammlung steht

$\begin{eqnarray*} \int x \cdot cosx dx = cosx + xsinx \end{eqnarray*}$

So schlimm sieht das doch gar nicht aus...

Viele Grüße
Steffen

19.04.2012, 20:02

Scraptor

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ja aber die formel lautet doch etwas anders

in deinem bsp steht das erste x für t-2 und das zweite x steht ja für $\begin{eqnarray*} \frac{2\pi }{4} n t \end{eqnarray*}$

oder hab ich das falsch interpretiert?

20.04.2012, 08:28

Steffen Bühler

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Also gut, ich präzisiere:

$\begin{eqnarray*} \int (xcoscx)dx = \frac {coscx}{c^2} + \frac {xsincx}c \end{eqnarray*}$

Und außerdem:

$\begin{eqnarray*} (t-2) \cdot coscx = tcoscx - 2coscx \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

PS: Hast Du denn gar keine Formelsammlung?

20.04.2012, 12:25

Mathewolf

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Du möchtest also folgendes Integral lösen:

$\begin{eqnarray*} \frac12\int\limits_{-2}^2(t-2)\cos\left(\frac{n\pi}2\,t\right)dt \end{eqnarray*}$

Wähle die Substitution $\begin{eqnarray*} u:=\frac{n\pi}2\,t \end{eqnarray*}$ und gehe dann über die partielle Integration.

26.04.2012, 15:30

Scraptor

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So, ich nun schon wieder!

Beschäftige mich mal wieder mit dieser Aufgabe hier.
Versuche immer nonch das ganze zu begreifen, was mir aber schwerer denn je fällt.

Kann mir vielleicht einer einen Lösungsweg geben, aus dem ich mir auf verständliche Weise meine Infos ziehen kann?

Ich weiß, ist ein wenig frech so zbu fragen, aber ich hab wirklich massiv Probleme die Fourierreihe zu verstehen.

Danke schonmal für eure Mühen!

27.04.2012, 09:57

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Scraptor
ich hab wirklich massiv Probleme die Fourierreihe zu verstehen.

Was genau verstehst Du nicht? Konntest Du $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ inzwischen ausrechnen?

Viele Grüße
Steffen

27.04.2012, 10:09

Scraptor

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Nein, sorry! Am ausrechnen von $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ hängt es im moment.

Und wenn ich dran denke, dass ich auch noch die komplexe Schreibweise ausrechnen muss dann verzweifel ich.

27.04.2012, 10:20

klarsoweit

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Wenn ich das richtig sehe, geht es im Moment um die Berechnung von

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac 2 4 \cdot \int\limits_{-2}^2 (|t|-2) \cos \left(\frac{n\pi}2\,t\right) ~dt = \int\limits_{0}^2(t-2)\cos\left(\frac{n\pi}2\,t\right)dt \end{eqnarray*}$

Welche Substitution da zu verwenden ist, wurde schon gesagt.

27.04.2012, 11:52

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von klarsoweit
Welche Substitution da zu verwenden ist, wurde schon gesagt.

Eben. Und wenn Du das partout nicht hinbekommst, nimm halt die von mir genannte Formel und setz ein. Was läßt Dich da verzweifeln?

Und im Komplexen ist's auch nicht schwer, statt cos steht dann halt e^-iwt. Kriegen wir schon hin.

Viele Grüße
Steffen

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