fiese Integrale

19.04.2012, 10:46

GNTM

fiese Integrale

Wir haben diese beiden Integrale zu lösen und kommen iwie auf keinen grünen Zweig.

$\begin{eqnarray*} \int \frac{\sin(x)+\cos(x)}{\sqrt{\sin(2x)}}~\dd x\\ \int\left(\frac{x^2-1}{(x^2+1)\sqrt{x^4+1}}\right)~\dd x \end{eqnarray*}$

Sind die überhaupt lösbar???

19.04.2012, 10:55

chrlan

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http://www4b.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP27921a15276365818f69000035c467daac161hbf?MSPStoreType=image/gif&s=59&w=459&h=107

das kommt beim zweiten raus. also echt krass...

19.04.2012, 10:59

chrlan

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das erste ist noch schlimmer, da kommt ne hypergeometrische funktion drin vor...

19.04.2012, 11:16

Valdas Ivanauskas

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Zitat:

Original von chrlan
...das kommt beim zweiten raus. also echt krass...

Hmh,
also ich hab da

$\begin{eqnarray*} \frac 1{\sqrt{2}}\arccos\left(\frac{\sqrt{2}~x}{x^2+1}\right) \end{eqnarray*}$

raus.

19.04.2012, 11:58

Leopold

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Und ich habe, wenn $\begin{eqnarray*} \operatorname{sgn}(x) \end{eqnarray*}$ die Vorzeichenfunktion bezeichnet:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x^2 - 1}{\left( x^2 + 1 \right) \cdot \sqrt{x^4 + 1}} ~ \dd x = - \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \arccos \left( \left( \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \right)^2 \right) \cdot \operatorname{sgn}(x) \end{eqnarray*}$

wobei ich leicht neidisch zugeben muß, daß die Lösung von Valdas Ivanauskas ein wenig schöner ist ...

19.04.2012, 12:50

Huggy

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Zitat:

Original von chrlan
das erste ist noch schlimmer, da kommt ne hypergeometrische funktion drin vor...

Tatsächlich?

$\begin{eqnarray*} \int \frac{\sin(x)+\cos(x)}{\sqrt{\sin(2x)}}~\dd x =-\arcsin (\cos x - \sin x) \end{eqnarray*}$

19.04.2012, 13:12

Valdas Ivanauskas

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Zitat:

Original von Huggy
$\begin{eqnarray*} \int \frac{\sin(x)+\cos(x)}{\sqrt{\sin(2x)}}~\dd x =-\arcsin (\cos x - \sin x) \end{eqnarray*}$

Oder auch:

$\begin{eqnarray*} \int \frac { \sin(x) + \cos(x) }{ \sqrt{ \sin(2x) } } ~ \dd x = \arccos \left( \sqrt{2} ~ \sin \left( \frac {\pi}4 - x \right) \right) \end{eqnarray*}$

19.04.2012, 13:17

Mystic

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Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Original von chrlan
das erste ist noch schlimmer, da kommt ne hypergeometrische funktion drin vor...

Tatsächlich?

$\begin{eqnarray*} \int \frac{\sin(x)+\cos(x)}{\sqrt{\sin(2x)}}~\dd x =-\arcsin (\cos x - \sin x) \end{eqnarray*}$

Hm, da kann ich der Versuchung nicht widerstehen, noch eine offensichtliche "Verschönerung" durchtzuführen, nämlich

$\begin{eqnarray*} \int \frac{\sin(x)+\cos(x)}{\sqrt{\sin(2x)}}~\dd x =\arcsin (\sin x - \cos x) \end{eqnarray*}$ ... Big Laugh

Edit: Auch wenn man jetzt darüber streiten kann, welche Form der Stammfunktion jetzt wirklich die "einfachste" ist, vom Standpunkt der Berechenbarkeit am TR scheint mir die letzte auf Huggy zuürckgehende Form die beste zu sein...

20.04.2012, 14:07

GNTM

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Whoa – gleich 2 Lösungen pro Aufgabe. Das rockt!
Rückwärts gerechnet kann ich’s auch gut nachvollziehen.
Mit dem ‚selbst drauf kommen‘ (also ohne CAS, wobei mir die hier nicht geholfen haben) sieht es schlechter aus.
Gibt’s da außer Üben und Scharf Hinsehen noch Tricks?

Auf jeden Fall vielen Dank an alle!!!

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