Grenzwerte von Folgen

19.04.2012, 13:30

Master1991

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Grenzwerte von Folgen

Hallo,

habe eine kurze Frage zu ein paar Folgen:

1. $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{7^n + 4^{n+1}}{ 7^{n+1} + 4^n} \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} a_n = 3n - \sqrt{ 9n^2 + 3n + 1} \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist, ich weiß nicht wie ich da rangehe...die Lösungen habe ich mir angeguckt mitm CAS aber wie komm ich dorhin? Bei normalenfolgen Klammer ich die höhsten Potenzen aus und schau was überbleibt....aber hier?!

Die erste Folge ist ja nun fast identish im Zähler wie im Nenner das heißt beide Wachsen ungefähr gleich stark für immer größere n...aber wie geh ich da nun ran?

MfG

19.04.2012, 13:40

klarsoweit

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RE: Grenzwerte von Folgen
zu 1: kürze durch 7^n

zu 2: erweitere mit $\begin{eqnarray*} 3n + \sqrt{ 9n^2 + 3n + 1} \end{eqnarray*}$

19.04.2012, 13:59

Master1991

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RE: Grenzwerte von Folgen
Hmm..

also wenn ich bei 1. mit 7^n kürze ... hab ich da genauso viel bloedsinn stehen wie vorher...oder ich hab da was falsch gemacht.

Hmm bei 2. hab ich das 3te Binom im Zähler stehen, allerdings steht im Nenner ja nun immernoch eine Wurzel. Laut CAS ist der Grenzwert -0,5 und das kann ich bei mir leider nicht erkennen...mein Zähler get für große n nun gegen unendlich..

Ich glaub irgendwas begreif ich da noch nicht so ganz

19.04.2012, 14:11

Iorek

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RE: Grenzwerte von Folgen

Zitat:

Original von Master1991
also wenn ich bei 1. mit 7^n kürze ... hab ich da genauso viel bloedsinn stehen wie vorher...oder ich hab da was falsch gemacht.

Das kann durchaus sein, da wir aber keine Kristallkugel haben, können wir da nichts zu sagen, wenn du nicht deine Rechnung präsentierst.

Zur zweiten Aufgabe, nach dem Erweitern solltest du mal gucken, ob sich nicht etwas ausklammern und kürzen lässt.

19.04.2012, 16:34

Valdas Ivanauskas

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RE: Grenzwerte von Folgen
Bei 2.) kannst Du auch mit dem Einschließungskriterium argumentieren.
Dabei würde die Stetigkeit der Wurzel nicht benötigt.

Einerseits hast Du:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{9n^2+3n+1}-3n=\sqrt{\left(3n+\frac 12\right)^2+\frac 34}-3n\geq \sqrt{\left(3n+\frac 12\right)^2}-3n=\frac 12. \end{eqnarray*}$

Andererseits kannst Du mit der AM-GM-Ungleichung folgern:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{9n^2+3n+1}-3n=\sqrt{3n\left(3n+1+\frac 1{3n}\right)}-3n\leq\frac {6n+1+\frac 1{3n}}2-3n=\frac 12+\frac 1{6n}. \end{eqnarray*}$

24.04.2012, 12:28

Master1991

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Tut mir leid das ich mich jetzt erst wieder melde, hatte nen bisschen viel um die Ohren allerdings mein Problem noch nicht gelöst...so ich fang dann mal wieder an:

Danke uebrigens an den letzten Poster...0,5 ist zwar richtig allerdings versteh ich den Rechenweg nicht so ganz, vll kann da jemand was zu sagen...so nun zu der anderen aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \frac{7^n+4^{n+1}}{7^{n+1}+4^n} \end{eqnarray*}$

aber wenn ich das nun durch $\begin{eqnarray*} 7^n \end{eqnarray*}$ kürze dann steht da doch:

$\begin{eqnarray*} \frac{1+\frac{4^{n+1}}{7^n}}{\frac{7^{n+1}}{7^n}+\frac{4^n}{7^n}} \end{eqnarray*}$

Oder ist das noch weiter kürzbar und ich kenn die Regel dazu einfach nicht?

Mfg

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24.04.2012, 13:04

klarsoweit

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Als Zwischenergebnis ist das soweit ok. Allerdings kannst du auf die 3 Brüche noch Potenzregeln anwenden. Beachte auch: $\begin{eqnarray*} 4^{n+1} = 4 \cdot 4^n \end{eqnarray*}$ .

24.04.2012, 13:23

Master1991

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Okay, dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{1+\frac{4^n * 4}{7^n}}{7+(\frac{4}{7})^n} \end{eqnarray*}$

Der Nenner läuft also für steigende und sinkende n gegen 7, soweit richtig?

Wie mach ich nun weiter? Ich glaub mir fehlen da sämtliche Potenzregeln...

24.04.2012, 13:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von Master1991
Der Nenner läuft also für steigende und sinkende n gegen 7, soweit richtig?

Nun ja, eher für steigende n bzw. genauer für n gegen unendlich. smile

smile

Und im Zähler schreibst du $\begin{eqnarray*} \frac{4^n * 4}{7^n} = 4 \cdot (\frac 4 7)^n \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.04.2012, 13:53

Master1991

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Ähm das versteh ich jetzt nicht wirklich, wieso läuft das gegen unendlich?

4/7 ist doch <1 und wenn ich das mit n potenziere läuft 4/7 doch gegen 0 und damit der komplette Nenner gegen 7?

Im Zähler dann genau das gleich sodass der ganze Bruch gegen 1/7 läuft oder?

24.04.2012, 14:13

klarsoweit

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Zitat:

Original von Master1991
Ähm das versteh ich jetzt nicht wirklich, wieso läuft das gegen unendlich?

4/7 ist doch <1 und wenn ich das mit n potenziere läuft 4/7 doch gegen 0 und damit der komplette Nenner gegen 7?

Du hast mich mißverstanden. Also nochmal mit ganzem Satz:
Für n gegen unendlich läuft der Nenner gegen 7.

Zitat:

Original von Master1991
Im Zähler dann genau das gleich sodass der ganze Bruch gegen 1/7 läuft oder?

Richtig.

Freude

24.04.2012, 14:22

Master1991

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Ah, okay dankeschön.

Bleibt nur noch eine Frage offen auf die ich keine Antwort finde:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%287^n%2B4^%28n%2B1%29%29%2F%287^%28n%2B1%29%2B4^n%29

laut WA sind die Grenzen für + und - "unendlich" verschieden und zwar 1/7 wie ich es ja nun auch habe aber für negative n läuft das gegen 4?

Ist das falsch oder wieso ist das so?

Hast du eventuell auch ne Idee für die andere Folge?

Auf jedenfall viele dank dir schonmal du hast mir wirklich geholfen smile

smile

24.04.2012, 14:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von Master1991
laut WA sind die Grenzen für + und - "unendlich" verschieden und zwar 1/7 wie ich es ja nun auch habe aber für negative n läuft das gegen 4?

Ist das falsch oder wieso ist das so?

Für n gegen minus unendlich mußt du den Bruch natürlich durch 4^n kürzen. smile

smile

Zitat:

Original von Master1991
Hast du eventuell auch ne Idee für die andere Folge?

Welche meinst du? Die mit der Wurzel? Dazu hatte ich dir schon eine Idee geschrieben.

24.04.2012, 14:38

Master1991

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Wieso kürzen? Das versteh ich gerade nicht ganz, kannst du das eventuell einmal zeigen?

Ah ja ich mein die Folge mit der Wurzel gar nicht gesehen das du dazu was geschrieben hattest...ich probier mal smile

smile

EDIT//

Okay nach 3tem Binomi steht da dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{18n^2+3n+1}{3n+\sqrt{9n^2+3n+1}} \end{eqnarray*}$

Naja mann könnte jetzt noch wieder nach Binomi was machen oder ausklammern, aber wie ichs dreh und wende ich bekomm die bloede Wurzel nicht Weg, wie seh ich denn nun daran das 0,5 der Grenzwertz ist?

24.04.2012, 14:44

klarsoweit

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Zitat:

Original von Master1991
Wieso kürzen? Das versteh ich gerade nicht ganz, kannst du das eventuell einmal zeigen?

Nee. Du machst dasselbe wie beim Kürzen durch 7^n, nur daß du durch 4^n kürzt.

24.04.2012, 14:46

Master1991

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Achso ist das gemeint, aber warum muss ich denn einmal durch 7^n und 4^n kürzen?

Woran seh ich direkt am Anfang das ich das getrennt betrachten muss?

(Ich mach das derweil mal)

24.04.2012, 14:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von Master1991
Achso ist das gemeint, aber warum muss ich denn einmal durch 7^n und 4^n kürzen?

Der Erfolg gibt einem Recht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Man muß ja irgendwie zu Termen kommen, die für n gegen unendlich bzw. n gegen minus unendlich einen endlichen Grenzwert haben.

24.04.2012, 15:00

Master1991

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Okay, also:

$\begin{eqnarray*} \frac{(\frac{7}{4})^n+4}{(\frac{7}{4})^n*7+1} \end{eqnarray*}$

Angenommen ich hab das nun richtig gemacht, dann Potenzier ich doch eine Zahl >1 damit läuft der Bruch aber nicht mehr gegen 0 oder? ... Versteh das mit dem - "unendlich" und der Grenzwert 4 scheinbar nicht so ganz...1/7 ist mir klar..

Wie sieht das mit der anderen Folge aus? (siehe Edit vorige Seite)

24.04.2012, 15:22

klarsoweit

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Zitat:

Original von Master1991
Angenommen ich hab das nun richtig gemacht, dann Potenzier ich doch eine Zahl >1 damit läuft der Bruch aber nicht mehr gegen 0 oder?

Aber sicher doch. Du potenzierst doch mit einem negativen Exponenten, der obendrein gegen minus unendlich läuft.

Zitat:

Original von Master1991
Versteh das mit dem - "unendlich" und der Grenzwert 4 scheinbar nicht so ganz.

Im 1. Fall läßt man das n auf der positiven Zahlenachse nach rechts laufen, und im 2. Fall auf der negativen Zahlenachse nach links.

Zitat:

Original von Master1991
Wie sieht das mit der anderen Folge aus? (siehe Edit vorige Seite)

Da hast du im Zähler die 3. binomische Formel nicht richtig angewendet.

24.04.2012, 15:29

Master1991

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Ja, wohingegen das n läuft versteh ich schon, ich muss das einfach gleich nochmal rechnen aber schonmal gut das die Aufgabe nun richtig ist.

Naja und wenn man die 3te binomische Formel falsch im Kopf hat, hat man auch selber schuld Big Laugh

Big Laugh

So dann komm ich auf das hier:

$\begin{eqnarray*} \frac{3n+1}{3n+\sqrt{9n^2+3n+1}} \end{eqnarray*}$

Aber immernoch die Wurzel, daran seh ich ja nun nicht wohingegen das ganze läuft, noch nen Tipp vll?

24.04.2012, 15:52

klarsoweit

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Der Zähler ist immer noch falsch, weil du da einfach das Vorzeichen mißachtest.

Erweitere nun den Bruch mit 1/(3n).

24.04.2012, 16:12

Master1991

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Ja stimmt ich hab vergessen die Klammer um die Wurzel zu setzen beim Quaddrieren...

Aber ich glaub ich geb die Aufgabe jetzt auf ich komm immer noch auf keine richtige Lösung bzw komme gar nicht erst weiter.

Danke dir aber für die viele Mühe, großartig smile

smile

25.04.2012, 08:11

klarsoweit

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So schwierig ist der Rest nicht mehr. Zeig mal, was du gerechnet hast.

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