Determinantenberechnungmit Parameter

19.04.2012, 13:49	Youfla	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinantenberechnungmit Parameter Hallo, ich habe ein problem.. folgende aufgabe ist die letzte meiner übung und ich weiss nicht genau wie ich diese anzugehen habe.. Die aufgabe lautet: Sei $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N , n\geq 2 \end{eqnarray}$ und seien $\begin{eqnarray} x_1,...., x_{n-1} \end{eqnarray}$ paarweise verschiedene reelle zahlen. Für $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} p(\lambda ):= det \begin{pmatrix} 1 & \lambda & \lambda ² & ... & \lambda^{n-1} \\ 1 & x_1 & x²_1 & ... & x_1^{n-1} \\ ... & ... & ...& ...& ... \\ ... & ... & ...& ...& ... \\ 1 & x_{n-1} & x^2_{n-1} & ... & x_{n-1}^{n-1} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zeigen sie die folgenden aussagen: (i) p ist ein Polynom vom grad höchstens $\begin{eqnarray} n-1 \end{eqnarray}$ (ii) es gilt $\begin{eqnarray} p (x_i) = 0 \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} i\in (1,2,...,n-1) \end{eqnarray}$ (iii) es gibt eine Konstante $\begin{eqnarray} c\in \mathbb R \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} p(\lambda )= c(\lambda -x_1)(\lambda -x_2)...(\lambda -x_{n-1}) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray}$ gilt.
20.04.2012, 14:47	lp-raum	Auf diesen Beitrag antworten »
zu (i) : Induktion und (Laplace-)Entwicklung nach der letzten Spalte. zu (ii): Setze einfach $\begin{eqnarray} \lambda=x_i \end{eqnarray}$ ein und benutze elementare Eigenschaften der Determinantenfunktion. zu (iii): Benutze die bekannte Aussage, dass für ein Polynom f und eine Nullstelle a sich f immer als (x-a)g schreiben lässt für ein gewisses Polynom g.

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