Problem mit aussagenlogischer Gleichung

19.04.2012, 18:52

Badehandtuch

Problem mit aussagenlogischer Gleichung

Guten Abend,

ich verstehe nicht, warum (a ^b) v (- a ^ - b) = a <=> b ist.

Ich habe es schon mit einer Wahrheitstafel versucht, die aber nichts ergeben hat.

Ich studiere übrigens Informatik und nicht Mathematik (falls die Frage zu doof sein sollte .. smile

)

19.04.2012, 18:55

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} (a \wedge b) \vee (-a\wedge -b) = a \Leftrightarrow b \end{eqnarray*}$

Ich denke das soll da stehen.
Bei deiner Frage kann ich dir leider nicht helfen.

19.04.2012, 19:57

weisbrot

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mit wahrheitstabelle solltest du das schon beweisen können. aber wenn du unbedingt durch umformen auf die identität kommen willst würde ich sagen beginne mal bei der rechten seite und benutze die definition: $\begin{eqnarray*} (a\to b) := \neg a \vee b \end{eqnarray*}$ . lg

20.04.2012, 08:46

Dopap

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Zitat:

Original von Gmasterflash
$\begin{eqnarray*} (a \wedge b) \vee (-a\wedge -b) = a \Leftrightarrow b \end{eqnarray*}$

Ich denke das soll da stehen.

$\begin{eqnarray*} (a \wedge b) \vee (\lnot a\wedge \lnot b) \Leftrightarrow a \leftrightarrow b \end{eqnarray*}$

Ist diese Schreibweise nicht sauberer? ( nicht wegen dem $\begin{eqnarray*} \lnot \end{eqnarray*}$ )

Auch das von weisbrot mit $\begin{eqnarray*} := \end{eqnarray*}$ gefällt mir nicht.

$\begin{eqnarray*} a \rightarrow b \Leftrightarrow \lnot a \lor b \end{eqnarray*}$

ist richtig, wenn $\begin{eqnarray*} a \rightarrow b \leftrightarrow \lnot a \lor b \end{eqnarray*}$

Wahrform ist. ( $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ = Äquivalenz, keine Verknüpfung, $\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \end{eqnarray*}$ = Bijunktion )

Oder sind da nur die Geschmäcker verschieden?

20.04.2012, 13:06

weisbrot

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@dopap:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (a \wedge b) \vee (\lnot a\wedge \lnot b) \Leftrightarrow a \leftrightarrow b \end{eqnarray*}$

so habe ich das auch gelernt, aber in verschiedenen literaturen wird (für formale äquivalenz) manchmal <=> und manchmal = benutzt; jedenfalls ist es richtig dass im rechten teil eigentlich ein <-> gehört.
ebenso ist die verwendung von := (anstatt :<=>) für definition von logischen verknüpfungen denke ich sehr gebräuchlich.
also geschmackssache Augenzwinkern

20.04.2012, 15:40

Dopap

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@weisbrot: eines noch: sind bei

$\begin{eqnarray*} (a \wedge b) \vee (\lnot a\wedge \lnot b) \Leftrightarrow a \leftrightarrow b \end{eqnarray*}$

die Klammern eigentlich unnötig, also so:

$\begin{eqnarray*} a \wedge b \vee \lnot a\wedge \lnot b \Leftrightarrow a \leftrightarrow b \end{eqnarray*}$ ??

20.04.2012, 16:05

weisbrot

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@dopap: nein, überhaupt nicht; wenn du nur $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ bzw. nur $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ hättest, dann wären sie wegen assoziativität nicht nötig: $\begin{eqnarray*} (a\vee b)\vee c = a\vee (b\vee c) \end{eqnarray*}$ . aber hier würde distributivität gelten (ungefähr so wie addition und multiplikation in der arithmetik), deshalb: $\begin{eqnarray*} (a\wedge b) \vee c\neq a\wedge (b\vee c) \end{eqnarray*}$ . lg

20.04.2012, 20:12

Dopap

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@weisbrot: deine Beispiele sind in Ordnung.

Nur bei diesem Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} (a \wedge b) \vee (\lnot a\wedge \lnot b) \Leftrightarrow a \leftrightarrow b \end{eqnarray*}$

habe ich mich von der Hierarchie der Operatoren :

NOT vor AND vor OR leiten lassen, sodass

$\begin{eqnarray*} a \wedge b \vee \lnot a\wedge \lnot b \Leftrightarrow a \leftrightarrow b \end{eqnarray*}$

gleichwertig ist verwirrt

20.04.2012, 20:48

weisbrot

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@dopap:

Zitat:

NOT vor AND vor OR

achso, ok, das ist ja z.b. in programmiersprachen so. könnte man natürlich im allgemeinen so definieren, ist mir aber nicht bekannt, und ich halte das auch nicht für besonders sinnvoll - in der arithmetik z.b. könnte man * als "stärker" als + betrachten (wegen distributivität), und deshalb * vor + definieren - aber in booleschen algebren (z.b. mengen mit durchschnitt, vereinigung und komplement oder hier aussagenlogik) gilt distributivität "in beide richtungen" - damit meine ich:
$\begin{eqnarray*} a\vee(b\wedge c) = (a\vee b) \wedge (a\vee c) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a\wedge (b\vee c) = (a\wedge b)\vee (a\wedge c) \end{eqnarray*}$ - somit würde von der (meiner) intuition nichts dafür sprechen; andererseits definiert man NOT als am stärksten der übersichtlichkeit halber - würde man das auch noch auf OR und AND erweitern würde das meiner meinung nach der übersichtlichkeit schaden.
hoffe das trifft so ungefähr den springenden punkt (sagt man das so?).
lg

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