exponentialgleichung

19.04.2012, 19:26	ter	Auf diesen Beitrag antworten »
exponentialgleichung $\begin{eqnarray} x=e^{t}+e^{-t} \end{eqnarray}$ Lässt sich diese Gleichung analytisch nach t auflösen? Maple liefert dazu $\begin{eqnarray} t=ln(\frac{1}{2} x \pm \sqrt{x^{2}-4}) \end{eqnarray}$ aber ich schaffs nicht auf dieses Ergebnis zu kommen mit analytischen Methoden.
19.04.2012, 20:04	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: exponentialgleichung multipliziere mit exp(t) und substituiere dann exp(t)=s - du bekommst eine polynomgleichung in s die du lösen können solltest. lg
19.04.2012, 20:45	ter	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm, die Multiplikation hab ich gemacht, aber auf die Idee mit der Substitution bin ich nicht gekommen... Danke!
21.04.2012, 01:20	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
@ ter du meinst sicher $\begin{eqnarray} ln(\frac{x\pm \sqrt{x^2-4}}{2}) <br /><br /> =ln(x\pm \sqrt{x^2-4})-ln(2) <br /><br /> =\pm arcosh(x/2)<br /> \end{eqnarray}$ (Umkehrfunktion vom cosinus hyperbolicus) LG
21.04.2012, 04:04	SusiQuad	Auf diesen Beitrag antworten »
@thk Wenn man weiss, dass $\begin{eqnarray} \frac{e^t \,+\, e^{-t}}{2} ~=~ \cosh(t)~\overset{!}{=}~ \frac{x}{2} \end{eqnarray}$ dann ist der Schritt nach $\begin{eqnarray} t~=~arcosh\!\left(\frac{x}{2}\right) \end{eqnarray}$ nicht weit ...
21.04.2012, 11:11	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
@SusiQuad und warum schreibst du mir das? Oder wars doch an den FS gerichtet als Erläuterung? Es ging hauptsächlich darum, den ln-Ausdruck zu korrigieren. Der arcosh-Hinweis ist nebensächlich, aber ME nicht unopportun an der Stelle.
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