Beweis mit Körperaxiom

19.04.2012, 19:26	GG_well	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mit Körperaxiom Meine Frage: Hallo, Aufgabe: Beweise mit Hilfe der Körperaxiome die folgenden Aussagen: a) $\begin{eqnarray} <br /> a,b,c,d \in \mathbb{R}^{+} und \frac{a}{b} < \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}<br /> \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} <br /> \|ab\| =\|a\|\|b\| \qquad \forall a,b \in \mathbb{R}<br /> \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} <br /> \|\|a\| -\|b\|\| \leq \|a + b\|<br /> \end{eqnarray}$ (Hinweis: folgt aus Dreiecksungleichung) d) $\begin{eqnarray} <br /> x\in \mathbb{R} und \|x\| < \|y\| \quad \forall y \in \mathbb{R}^{+} \Rightarrow x = 0<br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: also Aufgabe b) würde ich einfach mit Fallunterscheidung machen: $\begin{eqnarray} a < 0, b < 0: \quad \|(-a)\cdot (-b)\| = \|ab\| = ab \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|-a\| \cdot \|-b\| = -(-a) \cdot -(-b) = ab \end{eqnarray}$ So ähnlich würde ich es für die anderen Fälle machen. bei d) Angenommen x ist ungleich Null und die Gleichung gilt. Also: $\begin{eqnarray} \|x\| < \|y\| \Rightarrow x < y \end{eqnarray}$ Nach dem Archimedischen Axiom kann ich aber ein b finden sodass: $\begin{eqnarray} \|bx\| > \|y\|\Rightarrow bx > y \end{eqnarray}$ Somit muss x = 0 sein. Vielleicht könnt ihr mir sagen obs richtig ist oder wie ich es anders machen kann. Bei a) und c) weiß ich nicht wie ich anfangen soll. Habt ihr Denkanstöße auf Lager? MfG

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