real und imaginärteil bestimmen

19.04.2012, 22:07

herzass

Auf diesen Beitrag antworten »

real und imaginärteil bestimmen

Hallo,
ich bräuchte bei diesen beiden Aufgaben Hilfe:
a) Bestimmen Sie Konjugierte, den Betrag sowie den Real- und Imaginärteil von
(z-a)/(z+a).

Ich habe z=a+ib gesetzt und habe dann rausbekommen (z-a)/(z+a)= b(2ai+b)/(4a²+b²)
Stimmt das und wie geht es dann weiter?
Um den Betrag zu bestimmen, bräuchte ich ja erstmal real- und imaginärteil.
und wie sieht die konjugiert komplexe zahl dazu aus?

b) Real- und Imaginärteil bestimmen von ( $\begin{eqnarray*} \frac{1+i}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ )^n.
Man könnte vielleicht 1+i in Polarkoordinaten umschreiben. Also i+1= $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}e^{\pi i/4} \end{eqnarray*}$

Danke schonmal für eure Hilfe!

20.04.2012, 08:33

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: real und imaginärteil bestimmen

Zitat:

Original von herzass
Ich habe z=a+ib gesetzt und habe dann rausbekommen (z-a)/(z+a)= b(2ai+b)/(4a²+b²)

Vorsicht! Das a im Originalausdruck ist eine Variable, das darfst Du nicht mit dem Realteil von z gleichsetzen! Setze z=x+iy und rechne nochmal.

Viele Grüße
Steffen

20.04.2012, 08:59

herzass

Auf diesen Beitrag antworten »

Kommt dann $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}+2aiy-a^{2}+y^{2}}{x^{2}+2ax+y^{2}+a^{2}} \end{eqnarray*}$
raus? Man muss den Bruch doch mit (x-iy+a) erweitern oder?

danke

20.04.2012, 09:28

Nubler

Auf diesen Beitrag antworten »

ist a rellwertig?

20.04.2012, 09:34

herzass

Auf diesen Beitrag antworten »

ja...

20.04.2012, 09:59

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann paßt's.

Viele Grüße
Steffen

Anzeige

20.04.2012, 10:04

herzass

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, aber wie muss ich jetzt weitermachen? Was genau ist da jetzt real- und was imaginärteil?

20.04.2012, 10:10

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie immer: alles, was ein i dabei hat, ist imaginär, alles andere reell. Bei $\begin{eqnarray*} \frac {s+it}u \end{eqnarray*}$ ist also der Realteil $\begin{eqnarray*} \frac s u \end{eqnarray*}$ und der Imaginärteil $\begin{eqnarray*} \frac t u \end{eqnarray*}$ .

Viele Grüße
Steffen

20.04.2012, 10:22

herzass

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist der Realteil $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}+y^{2}-a^{2}}{x^{2}+y^{2}+2ax+a^{2}} \end{eqnarray*}$ und der Imaginärteil $\begin{eqnarray*} \frac{2ay}{x^{2}+y^{2}+2ax+a^{2}} \end{eqnarray*}$ ?

20.04.2012, 10:24

herzass

Auf diesen Beitrag antworten »

Weiß vielleicht noch jemand was zur b)?

20.04.2012, 10:28

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Dein polarer Ansatz ist richtig. Schreib doch mal die Lösung hin.

Viele Grüße
Steffen

20.04.2012, 10:34

Valdas Ivanauskas

Auf diesen Beitrag antworten »

Für $\begin{eqnarray*} z=\frac 1{\sqrt{2}}(1+i) \end{eqnarray*}$ könntest Du ja zunächst mal $\begin{eqnarray*} z^2 \end{eqnarray*}$ berechnen.

Damit lässt sich der Rest dann ganz einfach erledigen.

20.04.2012, 10:37

herzass

Auf diesen Beitrag antworten »

Da kommt dann erstmal $\begin{eqnarray*} e^{i\pi /4} \end{eqnarray*}$ raus.............

20.04.2012, 10:39

herzass

Auf diesen Beitrag antworten »

ähh und das ganze ^n

20.04.2012, 10:41

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wandle es wieder in Real- und Imaginärteil um.

Viele Grüße
Steffen

20.04.2012, 15:48

herzass

Auf diesen Beitrag antworten »

Realteil ist dann cos $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{4} \end{eqnarray*}$ , Imaginrteil sin $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{4} \end{eqnarray*}$ . Stimmt das?

20.04.2012, 15:55

Valdas Ivanauskas

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn's mit der Polarform klemmt, dann kannst Du hier auch anders vorgehen.

Hast Du denn inzwischen mal

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^2 \end{eqnarray*}$

ausgerechnet?

20.04.2012, 16:11

herzass

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, das hab ich vorhin überlesen.
Ja, da müsste i rauskommen.
Für gerade n ist also der Realteil 0, der Imaginärteil 1 oder?

20.04.2012, 16:15

herzass

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, hab den Hinweis vorhin ganz überlesen.
Da müsste dann i rauskommen.
Also gilt für gerade n, dass der Realteil 0 und der Imaginäreil 1 ist? und für ungerade?

20.04.2012, 16:17

Valdas Ivanauskas

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist also $\begin{eqnarray*} z^2=i \end{eqnarray*}$ .

Wie sieht es folglich mit

$\begin{eqnarray*} z^3,~z^4,\ldots,z^8 \end{eqnarray*}$ aus?

20.04.2012, 16:18

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von herzass
Realteil ist dann cos $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{4} \end{eqnarray*}$ , Imaginrteil sin $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{4} \end{eqnarray*}$ . Stimmt das?

Fast.

$\begin{eqnarray*} (e^{i\frac{\pi}4})^n = e^{i\frac{\pi}4 \cdot n} = cos (\frac{\pi}4 \cdot n) + isin(\frac{\pi}4 \cdot n) \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

EDIT: herzass, ich schlage vor, Du entscheidest Dich für einen von uns beiden. Ich habe keine Lust, parallel zu andern Helfern zu arbeiten.

20.04.2012, 20:47

Valdas Ivanauskas

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Steffen Bühler
EDIT: herzass, ich schlage vor, Du entscheidest Dich für einen von uns beiden. Ich habe keine Lust, parallel zu andern Helfern zu arbeiten.

Oha....

Für meine Begriffe schreit die Aufgabe geradezu danach ohne den Übergang zur Polarform gelöst zu werden weshalb ich mir den kleinen Einwurf nicht verkneifen konnte.

Da in diesem Zusammenhang aber alles gesagt ist bin ich hier sowieso raus, so dass Du Dir herzasses ungeteilter Aufmerksamkeit, an der Dir offenbar sehr gelegen ist, gewiss sein kannst.

Nix für ungut.

23.04.2012, 08:38

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Valdas Ivanauskas
Für meine Begriffe schreit die Aufgabe geradezu danach ohne den Übergang zur Polarform gelöst zu werden

Ich finde, es ist Geschmackssache. Mir persönlich ist die Sache in Polarform anschaulicher. Einen Zeiger, der sich in 45-Grad-Schritten bewegt, kann ich mir besser vorstellen. Wie's herzass da geht, weiß natürlich keiner von uns.

Zitat:

Original von Valdas Ivanauskas
Nix für ungut.

Paßt schon. Ich gebe zu, ich war ein wenig bissig. Tut mir leid.

Viele Grüße
Steffen

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »