Maßtheorie - Bestimmen einer Sigma-Algebra

20.04.2012, 00:53

wdposchmann

Maßtheorie - Bestimmen einer Sigma-Algebra

Hi, ich habe eine Frage zur Maßtheorie, die für viele Fortgeschrittene wohl recht trivial sein wird. Ich habe allerdings vor zwei Tagen das erste Mal von einer Sigma-Algebra gehört und wollte fragen, ob ich unten stehende Frage richtig beantwortet habe.

Die Frage lautet: Geben Sie die Sigma-Algebren $\begin{eqnarray*} \sigma (\mathcal{A}) \end{eqnarray*}$ an, die von den folgenden Mengensystemen $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega) \end{eqnarray*}$ erzeugt werden. (Hinweis: Es gibt mehrere Teilaufgaben, hier geht es mir jedoch erst mal nur um eine)

a) $\begin{eqnarray*} \Omega = \left\{ 1,2,3,4 \right\}, \mathcal{A} = \left\{ \left\{ 1,2 \right\}, \left\{ 1,3 \right\}, \left\{ 1,4 \right\} \right\} \end{eqnarray*}$

Meine Idee ist jetzt, ausgehend von den drei Mengen, die $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ enthält, eine Sigma-Algebra aufzubauen, sprich eine Menge, die die drei Eigenschaften einer solchen Sigma-Algebra erfüllt. Meine Lösung ist:

$\begin{eqnarray*} \sigma (\mathcal{A}) = \left\{ \emptyset, \left\{ 1,2 \right\}, \left\{ 1,3 \right\}, \left\{ 1,4 \right\}, \left\{ 1,2,3,4 \right\}, \left\{ 3,4 \right\}, \left\{ 2,4 \right\}, \left\{ 2,3 \right\} \right\} \end{eqnarray*}$

Zu den einzelnen Eigenschaften der Sigma-Algebra:

1) Omega muss enthalten sein. Das ist es durch $\begin{eqnarray*} \left\{ 1,2,3,4 \right\} \end{eqnarray*}$

2) Die Komplemente der Mengen müssen enthalten sein. Das sind sie durch $\begin{eqnarray*} \left\{ 3,4 \right\}, \left\{ 2,4 \right\}, \left\{ 2,3 \right\} \end{eqnarray*}$

3) Die Vereinigung der Mengen muss enthalten sein. Das ist sie durch Omega.

Habe ich soweit alles richtig gemacht oder bin ich auf der falschen Fährte?

Viele Grüße und danke schon mal!

20.04.2012, 07:17

HAL 9000

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Bei Sigma-Algebren wird auch gefordert, dass die Vereinigung abzählbar vieler Mengen des Systems wieder im System enthalten sind.

Also muss $\begin{eqnarray*} \{1,2\}\cup \{1,3\} = \{1,2,3\} \in \sigma(A) \end{eqnarray*}$ gelten, d.h., deine Auflistung ist nicht vollständig.

P.S.: Was du aufgelistet hast, ist nur das von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ erzeugte Dynkin-System $\begin{eqnarray*} \mathcal{D}(A) \end{eqnarray*}$ .

20.04.2012, 10:41

wdposchmann

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Vielen Dank für deine Antwort!

Ok, dann habe ich bisher also nur ein Dynkin-System gebildet. Da die Vereinigungen beliebiger Mengen wieder in sigma(A) sein müssen, fehlen also noch:

{1,2,3}, {1,2,4} und {1,3,4} oder?

Und um es zu einer sigma-Algebra zu machen, muss es laut dem Link durchschnittsstabil sein. Das wäre es doch, wenn ich zudem noch die Mengen {1}, {2}, {3} und {4} hinzufüge richtig?

Ansonsten fällt mir jetzt keine weitere Menge ein, die dann noch fehlt. Habe ich jetzt mit meinen ergänzten Mengen die korrekte sigma-Algebra angegeben?

20.04.2012, 10:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von wdposchmann
Da die Vereinigungen beliebiger Mengen wieder in sigma(A) sein müssen, fehlen also noch:

{1,2,3}, {1,2,4} und {1,3,4} oder?

Und um es zu einer sigma-Algebra zu machen, muss es laut dem Link durchschnittsstabil sein. Das wäre es doch, wenn ich zudem noch die Mengen {1}, {2}, {3} und {4} hinzufüge richtig?

Es fehlt am Ende noch {2,3,4} als eine weitere Vereinigung, aber dann ist alles komplett.

Es stellt sich also heraus, dass hier am Ende die Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ herauskommt. Das ist nicht immer so, aber als Merkhilfe:

Die Mächtigkeit einer endlichen Sigma-Algebra ist immer eine Zweierpotenz.

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