Trigonometrische Funktion (Hauptwerte)

20.04.2012, 15:23

Dummbeutelchen

Trigonometrische Funktion (Hauptwerte)

Meine Frage:
Hallo,

ich hätte da eine Verständnisfrage zu folgender Aufgabe:

"Man löse folgende Gleichungen (nur Hauptwerte angeben, dh zwischen 0 und 2Pi)":

3 sin(2x) = 5 tan (x)

Meine Ideen:
Aufgabe:
3 sin (2x) = 5 tan (x)

Meine Lösung:

Bekannte Zusammenhänge aus Formelsammlung:

tan(x) = sin(x) / cos (x)

und

sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x)

Rechnung:

6 sin(x) * cos(x) = 5 sin(x) / cos(x)

cos(x²) = 5/6

x = arccos * wurzel (5/6)

also bekomme ich für
x1 = 0,421
und
x2 = 2,721 heraus.

Die beiden Lösungen sind schonmal richtig. Jedoch gibt es noch 4 weitere Lösungen für x. Und genau hier liegt mein Problem. Wie bekomme ich dieser heraus; warum sind es "Hauptwerte"?
Habe mir das ganz schon grafisch aufgezeichnet, ist aber immer noch nicht klar.

20.04.2012, 16:48

riwe

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RE: Trigonometrische Funktion (Hauptwerte)
forme auf

$\begin{eqnarray*} sinx\cdot(6\cdot sin^2x-1)=0 \end{eqnarray*}$ um

20.04.2012, 16:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dummbeutelchen
6 sin(x) * cos(x) = 5 sin(x) / cos(x)

cos(x²) = 5/6

Schwupps, da ist es passiert: Die leichtfertige Division durch $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ hat zwei Lösungen verschwinden lassn. Augenzwinkern

Und die zweite Zeile sollte statt $\begin{eqnarray*} \cos(x^2) = \frac{5}{6} \end{eqnarray*}$ richtigerweise

$\begin{eqnarray*} \cos^2(x) = \frac{5}{6} \end{eqnarray*}$

heißen - aber anscheinend hast du ja auch in der Richtung weitergerechnet.

Zitat:

Original von Dummbeutelchen
x = arccos * wurzel (5/6)

Im Klartext: $\begin{eqnarray*} x_1 = \arccos\left( \sqrt{\frac{5}{6}} \right) \end{eqnarray*}$

Dann hast du wahrscheinlich auch noch $\begin{eqnarray*} x_2 = \arccos\left( -\sqrt{\frac{5}{6}} \right) = \pi-x_1 \end{eqnarray*}$ als Lösung erkannt, aber die beiden Lösungen

$\begin{eqnarray*} x_3 = 2\pi-\arccos\left( -\sqrt{\frac{5}{6}} \right) = \pi+x_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_4 = 2\pi-\arccos\left( \sqrt{\frac{5}{6}} \right) = 2\pi-x_1 \end{eqnarray*}$

im Intervall $\begin{eqnarray*} [\pi,2\pi] \end{eqnarray*}$ hast du vergessen. unglücklich

20.04.2012, 17:27

Dummbeutelchen

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Danke schonmal.

Laut meiner Musterlösung, sind aber zusätzlich noch

x5 = 0
x6 = Pi

Lösungen.

Die Lösungen x3 und x4 kann ich ja noch halbwegs nachvollziehen. Aber warum 0 und Pi Lösungen sind - und wie man diese als Lösung herausbekommt verstehe ich nicht.

Der Schritt auf
sin(x) * (6*sin²(x) - 1) = 0
umzuformen scheint mir die Sache aber auch nicht zu vereinfachen? Zumindest wüsste ich spontan nicht, von hier weiter zu kommen.

20.04.2012, 17:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dummbeutelchen
Laut meiner Musterlösung, sind aber zusätzlich noch

x5 = 0
x6 = Pi

Lösungen.

Die Lösungen x3 und x4 kann ich ja noch halbwegs nachvollziehen. Aber warum 0 und Pi Lösungen sind - und wie man diese als Lösung herausbekommt verstehe ich nicht.

Ja, wer lesen kann...

Zitat:

Original von HAL 9000
Schwupps, da ist es passiert: Die leichtfertige Division durch $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ hat zwei Lösungen verschwinden lassn. Augenzwinkern

Und $\begin{eqnarray*} \sin(x)=0 \end{eqnarray*}$ liefert nun mal die beiden "verschwundenen" Lösungen $\begin{eqnarray*} x_5=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_6=\pi \end{eqnarray*}$ . Eigentlich auch noch $\begin{eqnarray*} x_7=2\pi \end{eqnarray*}$ , aber es ist aus deiner Fragestellung nicht so ganz hervorgegangen, ob dieser Randpunkt noch zu deinem Definitionsintervall gehört.

20.04.2012, 17:50

Dummbeutelchen

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Danke.

Ich werde mir wohl die Grundzusammenhänge weiter ansehen müssen.

20.04.2012, 18:07

riwe

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Zitat:

Original von Dummbeutelchen

Der Schritt auf
sin(x) * (6*sin²(x) - 1) = 0
umzuformen scheint mir die Sache aber auch nicht zu vereinfachen? Zumindest wüsste ich spontan nicht, von hier weiter zu kommen.

ich wollte damit nur darauf hinweisen, dass du sin(x) = 0 verloren hast unglücklich

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