Funktionsuntersuchung (Algebra, Relation, Rotation)

20.04.2012, 16:26

Kati-1993

Funktionsuntersuchung (Algebra, Relation, Rotation)

Meine Frage:
Hey Leute,
Ich habe echt keine Idee von den oben genannten Themen, würde mich aber sehr freuen wenn sich hier jemand die Zeit nehmen könnte, um mir weiterzuhelfen, da Ich gerade total auf dem Schlauch stehe.

Ich habe bereits gemerkt, dass sich algebraische Funktionen aus mehreren Variablen zusammensetzen. Ich habe zwei Beispiele, die Ich später nennen werde. Was mich nun verwirrt, ist, dass die Funktion gleich 0 bzw y^2 gesetzt wird. Ich habe mich mit solchen Funktionen noch nie richtig auseinandergesetzt, deshalb habe Ich folgende Fragen:

-Könnt ihr mir bitte so viel wie möglich zu den Themen (algebra und relationen) erzählen? Links wären auch hilfreich, aber bedenkt bitte, dass Ich ein "Frischling" bin, und es nicht zu kopmlex erklärt sein sollte?

-Was ist bei diesen Fukntionen die Definitionsmenge? Wertemenge?
-Haben solche Funtionen Nullstellen/ Schnittpunkte mit der x-, y- und z-Achse?
-Kann man so etwas wie Asymptoten berechnen?
-Wie berechnet man den Flächeninhalt (geschlossener Flächenstücke)?
-Wie kommt man von der Gleichung zur Fläche, sprich von 2D zu 3D?
-Kennt ihr ein gutes Programm, welches Ich kostenlos runterladen kann um 3D Bilder zu erstellen?
-Wie berechne Ich den Rotationskörper?

-Könnt ihr mir (weitere)Punkte nennen, unter denen Ich die 2. Gleichung untersuchen könnte?

---> Ich wäre sehr sehr froh, wenn íhr mich helfen könntet. Vor Allem wäre Ich aber sehr dankbar, wenn Ich bei beantwortung einer frage auch eine erklärung hinzufügt! DANKE danke danke!

Hier die Gleichungen:
1. 16 (mal) y^2 - (5-x)(x^2-4)^2=0
2. x^3+x^2 (mal) z^2=y^2

-Katja D.-

Meine Ideen:
Die zweite Funktion kann man (höchstwahrscheinlich) nicht als 2D Bild darstellen, da in der Gleichung drei Variablen enthalten sind. Außerdem ist die algebraische Fläche dieser Gleichung stark veränderbar, wenn man eine Zahl auch nur minimal verändert (???).

Tut mir leid, aber mehr weiß Ich wirklich nicht.

20.04.2012, 17:44

InTheRain

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RE: Funktionsuntersuchung (Algebra, Relation, Rotation)
Hallo Katja,

löse die erste Funktion doch nach y auf dann hast du "eine ganz Gewöhnliche".

- Die Nullstellen bzw Achsenschnittpunkte errechnest du wie bei einer normalen Funktionen durch Nullsetzen. Bei der ersten Funktion wäre das für x=5 und x=2.

- Für den Flächeninhalt benutzt man das Integral.

- Rotationskörper errechnet man ebenfalls durch ein Integral je nachdem ob du um die X- , Y- Achse oder um eine andere Gerade rotieren willst.

Für die X-Achse wäre es:

$\begin{eqnarray*} pi* \int_{a}^b \mathrm (f(x))^2\mathrm dx \end{eqnarray*}$

Das f(x) entspricht dem y bei deiner 1. Funktion.

- Als Programm kann ich dir GeoGebra empfehlen.

Gruß Luigi

20.04.2012, 18:37

Kati-1993

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RE: Funktionsuntersuchung (Algebra, Relation, Rotation)
Hallo Luigi,
ersteinmal vielen vielen Dank für deine Hilfe.
Ich habe jetzt als Nullstellen für die erste Gleichung x=2, x=-2 und x=5 raus.
Könntest du mir vielleicht noch erklären, wie Ich das Integral berechne? Ich habe absolut keine Probleme damit, Integrale einer Funktion mit nur einerVariable zu berechnen. Ich habe aber echt keine Ahnung wie Ich die Stammfunktion aufstellen soll, wenn Ich sowohl auf x als auch auf y achten muss.

Ach und Ich hätte tatsächlich noch eine Frage: Wie kommt man auf die Formel für den Rotationskörper?

Danke nochmal =)

LG, Katja

20.04.2012, 18:59

thk

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RE: Funktionsuntersuchung (Algebra, Relation, Rotation)

Zitat:

Original von InTheRain
löse die erste Funktion doch nach y auf dann hast du "eine ganz Gewöhnliche".

- Die Nullstellen bzw Achsenschnittpunkte errechnest du wie bei einer normalen Funktionen durch Nullsetzen. Bei der ersten Funktion wäre das für x=5 und x=2.

Kleine Richtigstellungen:

Der erste Ausdruck lässt sich in 2 Funktionen darstellen:
$\begin{eqnarray*} f_1(x)=\frac{\sqrt{(5-x)(x^2-4)^2}}{4} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2(x)=-\frac{\sqrt{(5-x)(x^2-4)^2}}{4} \end{eqnarray*}$

Die Ausdrücke lassen sich natürlich noch vereinfachen.

Die Nullstellen sind jeweils -2, 2 und 5 (wie Kati schon hat). Dazu reicht die Auswertung des geg. Ausdrucks für y^2

LG

20.04.2012, 20:17

InTheRain

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Die Formel für den Rotationskörper kann man sich wie folgt zusammendenken:

Am besten machst du dir das an der Formel für einen Zylinder klar : $\begin{eqnarray*} V = \pi r^2h \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} r^2h \end{eqnarray*}$ entspricht hier unserem Integral.

Stell dir den Rotationsköper einfach als eine Aneinanderreihung von undendlich vielen kleinen Scheiben vor.

21.04.2012, 17:41

thk

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Wir haben den Ausdruck zerlegt in 2 Funktionen y=f1(x) und y=f2(x) mit

$\begin{eqnarray*} f_1(x)=\frac{\sqrt{(5-x)(x^2-4)^2}}{4} \end{eqnarray*}$ .

Wenn du f im Intervall von x1 bis x2 um die x-Achse roteiren lassen willst, dann reicht diese.

Ausgehend von einem differentiellen Volumenelement dV=pi*r^2dx integriert man über das x-Intervall. pi*r^2 ist die Kreisfläche an einer Stelle x mit Radius r=f(x).
--> $\begin{eqnarray*} \pi*r^2=\pi*(f(x))^2 \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} dV= \pi*(f(x))^2 dx \end{eqnarray*}$ ist eine differentielle ("hauchdünne") Kreisscheibe und
$\begin{eqnarray*} V=\int_{x_1}^{x_2} \! \pi\cdot (f(x))^2 \, dx <br /> V=\pi\cdot \int_{x_1}^{x_2} \! (f(x))^2 \, dx \end{eqnarray*}$

Versuche doch mal, von -2 bis 2...

LG

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