Affine Unabhängigkeit

20.04.2012, 16:45

loyloep

Affine Unabhängigkeit

Edit (mY+): Was soll der Titel "Geometrie unabhängigkeit" aussagen? Darunter kann sich doch kaum jemand etwas vorstellen. Lies bitte nach, wie Titel ordnungsgemäß zu erstellen sind. Titel modifiziert.

Man beweise, dass $\begin{eqnarray*} k + 1 \end{eqnarray*}$ Punkte, die paarweise denselben Abstand 1 haben, affin
unabhängig sind, also einen affinen Raum der Dimension $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ aufspannen.

Die Definitionen für Abstand und Unabhängig sind klar, aber wie bringt man beides für denBEweis zusammen?

22.04.2012, 02:39

gonnabphd

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Hi,

Ist der Vektorraum euklidisch? Wenn ja, dann könntest du für $\begin{eqnarray*} v_i, v_j, v_0 \end{eqnarray*}$ einmal

$\begin{eqnarray*} 1 = \langle v_i - v_j, v_i - v_j\rangle = \langle (v_i - v_0) - (v_j - v_0), (v_i - v_0) - (v_j - v_0)\rangle = \dots \end{eqnarray*}$

berechnen, um den Wert von $\begin{eqnarray*} \langle v_i - v_0, v_j - v_0\rangle \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\ne j \end{eqnarray*}$ zu bestimmen. Damit kannst du dann zu $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^k a_i (v_i - v_0) = 0 \end{eqnarray*}$ über

$\begin{eqnarray*} 0 = \left\langle \sum_{i=1}^k a_i (v_i - v_0), v_j - v_0\right\rangle = \sum_{i=1}^k a_i \cdot \langle v_i - v_0 , v_j - v_0\rangle \end{eqnarray*}$

(das gibt dir k Gleichungen mit k Unbekannten $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ - bleibt also zu zeigen, dass die Matrix $\begin{eqnarray*} \left(\langle v_i - v_0 , v_j - v_0\rangle\right)_{i,j} \end{eqnarray*}$ vollen Rang hat) folgern, dass alle $\begin{eqnarray*} a_i=0 \end{eqnarray*}$ sein müssen.

Das ist vielleicht nicht die schönste Variante die Aufgabe zu lösen, aber es wäre mal ein Ansatz.

Grüsse smile

23.04.2012, 16:25

loyloep

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Hallo gonnabphd,

die Erläuterungen zu Deinem Ansatz haben sehr geholfen. Die Matrix $\begin{eqnarray*} (\langle (v_i - v_o),(v_j - vo) \rangle)_{ij} \end{eqnarray*}$ ist vom Rang $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , da die Einträge auf der Diagonale gleich 1 sind und sonst $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Das Gleichungssystem, dass diese Matrix repräsentiert ist damit linear unabhängig. Denn alle Spalten- bzw. Zeilenvektoren sind offensichtlich lineare unabhängig zueinander und damit die Determinante ungleich Null.

Nicht ganz einleuchten tut mir der Schritt von $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{k} a_i (v_i - v_0) = 0 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \biggl\langle \sum_{i=1}^{k} a_i(v_i - v_0) , v_j - v_0 \biggl \rangle = 0 \end{eqnarray*}$ .

Grüße.

23.04.2012, 21:06

gonnabphd

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Zitat:

Nicht ganz einleuchten tut mir der Schritt von $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{k} a_i (v_i - v_0) = 0 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \biggl\langle \sum_{i=1}^{k} a_i(v_i - v_0) , v_j - v_0 \biggl \rangle = 0 \end{eqnarray*}$ .

Naja, wenn die erste Summe =0 ist, dann ist doch auch das innere Produkt der ersten Summe mit einem beliebigen Vektor =0. (Du willst zeigen, dass diese Summe nur dann Null sein kann, wenn alle Koeffizienten a_i=0 sind, d.i. die lineare unabhängigkeit der Vektoren $\begin{eqnarray*} v_i - v_0, \; i = 1, \dots, k \end{eqnarray*}$ )

Nun kannst du die Summe und die a_i rausziehen. Mit dem, was du (korrekt) über die Matrix $\begin{eqnarray*} M := (\langle (v_i - v_o),(v_j - vo) \rangle)_{ij} \end{eqnarray*}$ herausgefunden hast, bekommst du dann für j=1,...,k Gleichungen für die a_i, welche du interpretieren kannst als Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} M \cdot (a_1, \dots, a_k)^T = 0 \end{eqnarray*}$

Verwende nun die Erkenntnis über M.

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