Grenzwert berechnen (Epsilon)

20.04.2012, 18:46

Xantos

Grenzwert berechnen (Epsilon)

Halllo,

ich steh grad ein bisschen auf dem Schlauch, Grenzwertberechnung steht an. Wie der Grenzwert definiert ist mit der Epsilon-Umgebung verstehe ich.

Folgendes ist mein Term: $\begin{eqnarray*} \frac{2x^{2}+1}{3x^{2}-1} \end{eqnarray*}$

Konvergiert offensichtlich gegen $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ , das ist mir klar.

Rechnung muss ja dementsprechend sein: $\begin{eqnarray*} |\frac{2x^{2}+1}{3x^{2}-1} - \frac{2}{3}| \leq epsilon \end{eqnarray*}$

Der Betrag wird nicht negativ für $\begin{eqnarray*} x\geq 1 \end{eqnarray*}$ , also kann man ohne Betrag rechnen, richtig?

Führt zu: $\begin{eqnarray*} \frac{2x^{2}+1}{3x^{2}-1} - \frac{2}{3} \leq epsilon \end{eqnarray*}$

Wie löse ich das jetzt nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auf? Kürzen geht nicht, Nenner auf die andere Seite multiplizieren verkompliziert das ganze nur.

20.04.2012, 19:05

Iorek

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Wie wäre es mit elementarer Bruchrechnung und dem Durchführen der Subtraktion? Augenzwinkern

20.04.2012, 19:12

Xantos

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Stimmt, fix $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ auf den Hauptnenner erweitert und zusammengefasst, hab jetzt folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}+\frac{4}{3}}{3x^{2}-1} \leq \varepsilon \end{eqnarray*}$

Stehe aber immer noch auf dem Schlauch mit dem $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ sowohl in Zähler als auch Nenner. Kleinen Denkanschub bitte verwirrt

20.04.2012, 19:15

SusiQuad

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RE: Grenzwert berechnen (Epsilon)
Du solltest sagen $\begin{eqnarray*} \tiny\text{fuer}~x~\mapsto +\infty \end{eqnarray*}$ , also
konkret: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty} f(x) \end{eqnarray*}$

Gute Behauptung mit $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ führt zu ...

$\begin{eqnarray*} \left|f(x)-\frac{2}{3}\right| = \left|\frac{2x^2+1}{3x^2-1} -\frac{2}{3}\right| = \left|\frac{5}{3(3x^2-1)}\right| < \cdots < \varepsilon \end{eqnarray*}$ ... Hauptnenner !!

und jetzt (...) kannst Du selber abschätzen oder ?

20.04.2012, 19:24

Xantos

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RE: Grenzwert berechnen (Epsilon)
Danke schon mal für die Antworten Freude

Ist mir alles klar soweit, es geht mir mehr um die folgende Umformung:

Zitat:

Original von SusiQuad

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{2x^2+1}{3x^2-1} -\frac{2}{3}\right| = \left|\frac{5}{3(3x^2-1)}\right| \end{eqnarray*}$

Bei dieser Umformung steh ich gerade aufm Schlauch, mich irritiert irgendwie das $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ in Zähler und Nenner. Wie werd ich das los, sodass ich auf den rechten Term komme?

20.04.2012, 20:53

Iorek

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RE: Grenzwert berechnen (Epsilon)

Zitat:

Original von Xantos
$\begin{eqnarray*} \left|\frac{2x^2+1}{3x^2-1} -\frac{2}{3}\right| = \left|\frac{5}{3(3x^2-1)}\right| \end{eqnarray*}$
Bei dieser Umformung steh ich gerade aufm Schlauch, mich irritiert irgendwie das $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ in Zähler und Nenner.

Wie gesagt, elementare Bruchrechnung. Wie lautet der Hauptnenner, womit musst du also die einzelnen Brüche erweitern?

20.04.2012, 21:17

Xantos

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Ja, auf den Hauptnenner hab ich es ja in meinem zweiten Beitrag oben schon gebracht.

$\begin{eqnarray*} \frac{2x^2+1}{3x^2-1}-\frac{2}{3} = \frac{2x^{2}+1-x^{2}+\frac{1}{3}}{3x^{2}-1} = \frac{x^{2}+\frac{4}{3}}{3x^{2}-1} = \frac{3x^{2}+4}{3(3x^{2}-1)} = \frac{3x^{2}-1+5}{3(3x^{2}-1)} = \frac{3x^{2}-1}{3(3x^{2}-1)} + \frac{5}{3(3x^{2}-1)} = \frac{1}{3} + \frac{5}{3(3x^{2}-1)} \end{eqnarray*}$

Wo ist jetzt mein Fehler? Das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ist ja zuviel bei mir.

20.04.2012, 21:21

Iorek

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Tipp: ich würde als Hauptnenner $\begin{eqnarray*} 3\cdot(3x^2-1) \end{eqnarray*}$ bevorzugen, das vermeidet hässliche Bruchzahlen.

20.04.2012, 21:23

Xantos

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Stimmt, hab ich ja dann in Schritt 4 gemacht Augenzwinkern

20.04.2012, 21:27

Iorek

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Dann gucken wir uns die hässliche Rechnung doch mal genauer an.

Du erweiterst $\begin{eqnarray*} \frac 23 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x^2-\frac 13 \end{eqnarray*}$ , was bleibt dann im Zähler stehen?

20.04.2012, 21:31

SusiQuad

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... mal abgesehen davon, dass elementare Bruchrechnung nicht beherrscht wird.
Einsetzen von $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ zeigt die Ungültigkeit nach schon einer Umformung.

No hope .. (und weg)

20.04.2012, 21:41

Xantos

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Oh man, totaler Leichtsinnsfehler, hab die 2 vergessen. Danke Augenzwinkern

Hab's jetzt rausbekommen. Alles klar soweit, danke allen Wink

13.10.2015, 23:10

Rose15

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@SusiQuad: Deine Art und Weise, mit einem Problem umzugehen, ist einfach frech. Niemand zwingt dich, jemandem zu helfe, doch wenn du es machst, dann bitte doch richtig. Man wird nicht mit dem Wissen des Internets geboren und muss daher Dinge im Leben noch lernen (zum Glück!). Es mag sein, dass jemand irgendwo seine Schwächen hat. Das ist noch kein Grund, um so einen Kommentar zu geben. Wir sind hier, um auf eine freundliche Art, Fragen zu stellen bzw. diese zu beantworten.

13.10.2015, 23:47

mYthos

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@Rose, du hast zwar Recht, aber nach mehr als 3 Jahren wird das die Susi kaum mehr lesen .. Big Laugh

Gr
mY+

14.10.2015, 15:31

Rose15

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@mYthos, womöglich nicht, jedoch wollte ich es trotzdem gesagt haben, damit diese "Regel" über die Umgangsform unterstrichen wird Augenzwinkern

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Grenzwert berechnen (Epsilon)

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