Integration rationaler Funktionen (Nullstellen)

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20.04.2012, 19:02	casper	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration rationaler Funktionen (Nullstellen) Meine Frage: Hallo, die Aufgabe lautet: $\begin{eqnarray} \int \! \frac{5x^{2}-14x+10}{(x-1)^{2}(x-2)} \, dx \end{eqnarray}$ Diese Integration ersetze ich durch drei Koeffizienten, die ich mit Hilfe des Hauptnenners multiplizieren. Davor brauche ich aber noch die Nullstellen des Hauptnenners. Die Berechnung der Stammfunktion habe ich ohne Probleme geschafft. Nur meine Frage ist, wieso ist neben den Nullstellen x=1 und x=2 auch x=0 eine Nullstelle. Denn mit x=0 komme ich zum dritten Koeffizienten?! Kann ich die Nullstelle x=0 bei jeder Partialbruchzerlegung einsetzen? Meine Ideen: Diese Integration ersetze ich durch drei Koeffizienten, die ich mit Hilfe des Hauptnenners multiplizieren. Davor brauche ich aber noch die Nullstellen des Hauptnenners. Die Berechnung der Stammfunktion habe ich ohne Probleme geschafft. Nur meine Frage ist, wieso ist neben den Nullstellen x=1 und x=2 auch x=0 eine Nullstelle. Denn mit x=0 komme ich zum dritten Koeffizienten?! Kann ich die Nullstelle x=0 bei jeder Partialbruchzerlegung einsetzen?
20.04.2012, 19:11	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du auf die Nennernullstelle x=0? Ist keine! Wie sieht denn deine Partialbruchzerlegung aus? Hast du die doppelte Nullstelle bedacht? Diese erfordert eine Sonderbehandlung .
20.04.2012, 19:15	Casper	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int \! \frac{5x^{2}-14x+10}{(x-1)^{2}(x-2)} \, dx <br /> =\frac{A}{(x-2)} +\frac{B}{(x-1)}+\frac{C}{(x-1)^{2}} \end{eqnarray}$ Was ist die dritte Nullstelle?
20.04.2012, 19:21	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben doch drei Nullstellen? x=2 und die doppelte Nullstelle x=1. Das reicht uns aus . Deine Werte für A,B und C sind?
20.04.2012, 19:28	Casper	Auf diesen Beitrag antworten »
A=2, B=3 und C=? also wenn die dritte Nullstelle nicht x=0 heißt dann ist mein Ergebnis für C falsch. Wenn ich die Gleichung auflöse $\begin{eqnarray} \frac{5x^{2}-14x+10}{(x-1)^{2}(x-2)} \<br /> =\frac{A}{(x-2)} +\frac{B}{(x-1)}+\frac{C}{(x-1)^{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5x^{2}-14x+10=A(x-1)^{2}+B(x-1)(x-2)+C(x-2) \end{eqnarray}$ für x = 1 und 2 eingesetzt erhalte ich nur zwei Koeffizienten. Wie löse ich den dritten?
20.04.2012, 19:31	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast wohl die Zuhaltemethode bzw auch Grenzwertmethode benutzt, wobei du auch gleich den Ansatz für den Koeffizientenvergleich verfolgt hast. In der Tat kannst du für C die Grenzwertmethode nicht anwenden. Da du A und B schon gelöst hast (diese sind richtig), kannst du diese einfach einsetzen und nach C auflösen . Dann eben den Koeffizientenvergleich machen.
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20.04.2012, 19:56	Casper	Auf diesen Beitrag antworten »
C=-1 Dann heißt die Funktion: $\begin{eqnarray} \int \! \frac{5x^{2}-14x+10}{(x-1)^{2}(x-2)} \, dx = \frac{2}{(x-2)} + \frac{3}{(x-1)} -\frac{1}{(x-1)^{2}} \end{eqnarray}$ = 2ln "betrag"(x-2)+3ln"betrag"(x-1) und wie errechne ich jetzt die Stammfunktion für C?
20.04.2012, 20:04	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Yup ist richtig . Na komm. Was ist 1/x² integriert? Dann sollte der Schritt auf 1/(x-1)² nicht mehr schwer fallen .
20.04.2012, 20:23	Casper	Auf diesen Beitrag antworten »
Jep ich habs! Mit der Formel $\begin{eqnarray} \frac{1}{(n+1)}x^{n+1} \end{eqnarray}$ ist die Stamfunktion von $\begin{eqnarray} -(x-1)^{-2} = \frac{1}{x-1} \end{eqnarray*}$
20.04.2012, 20:31	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau .

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