Ableitung

20.04.2012, 22:13

retsam

Ableitung

Hallo

gesucht ist die Ableitung

$\begin{eqnarray*} f(x) = ln( \frac{1}{(1-e^{x})^{2}} ) \end{eqnarray*}$

Muss man hier bei dem Ableiten eine Fallunterscheidung machen?

$\begin{eqnarray*} f(x) = ln( \frac{1}{(1-e^{x})^{2}} ) = - ln (1-e^{x})^{2} = -2 \cdot ln |1-e^{x}| \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} e^{x} < 1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_1 (x) = -2 \cdot ln (1-e^{x}) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} e^{x} > 1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_2 (x) = -2 \cdot ln (-1+e^{x}) \end{eqnarray*}$

bei $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ liegt eine Polstelle

20.04.2012, 23:31

original

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RE: Ableitung
"Muss man hier bei dem Ableiten eine Fallunterscheidung machen?"

probier mal selber:

und vergleiche die Ergebnisse,

- wenn du f(x) - (ohne umzuformen) - direkt ableitest (Kettenregel ist mehrmals anzuwenden)

- wenn du f1(x) und f2(x) - (jeweils in ihrem Gültigkeitsbereich) ableitest (Kettenregel verwenden)

was stellst du dann fest? verwirrt

21.04.2012, 00:30

retsam

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Die Funktionen sind unterschiedlich.

Man muss die Fallunterscheidung machen.

21.04.2012, 00:41

original

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hm..

wie sehen denn deine Ableitungen aus ?

-> ...

21.04.2012, 02:02

retsam

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$\begin{eqnarray*} f_1 (x) = -2 \cdot ln (1-e^{x}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_1 '(x) = 2 \cdot e^{x} \cdot \frac{1}{1-e^{x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_2 (x) = -2 \cdot ln (-1+e^{x}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_2 '(x) = -2 \cdot e^{x}\cdot \frac{1}{-1+e^{x}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2 \cdot e^{x}\cdot \frac{1}{1-e^{x}} = f_1 '(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = ln( \frac{1}{(1-e^{x})^{2}} ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = (1-e^{x})^{2} \cdot (-2) \cdot \frac{1}{(1-e^{x})^{3}} \cdot (-e^{x}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2 \cdot e^{x} \cdot \frac{1}{1-e^{x}} = f_1 '(x) = f_2 '(x) \end{eqnarray*}$

Jedoch sollte man immer eine Fallunterschiedung machen und nicht direkt $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ableiten, denn es könnte sein, dass die Funktionen sich unterscheiden.

21.04.2012, 02:28

Mathe-Maus

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RE: Ableitung
Wie kommst Du auf ?

$\begin{eqnarray*} f(x) = ln( \frac{1}{(1-e^{x})^{2}} ) = - ln (1-e^{x})^{2} \end{eqnarray*}$

Ist doch:

$\begin{eqnarray*} f(x) = ln( \frac{1}{(1-e^{x})^{2}} ) = ln ((1-e^{x})^{-2}) \end{eqnarray*}$

Und jetzt innere * äußere Ableitung ...

21.04.2012, 03:11

retsam

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Logarithmusgesetz

21.04.2012, 03:20

SusiQuad

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RE: Ableitung
@MatheMaus

... indem man die LOG-Regeln $\begin{eqnarray*} \log(a^b)= b \cdot log(a) \end{eqnarray*}$ beherrscht ...

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{lll} f(x) &=& \ln \left[ \dfrac{1}{(1-e^x)^2} \right] \\ &=& \ln \left[ (1-e^x)^{-2} \right] \\ &=& -2 \cdot \ln \left( 1-e^x \right) \\ \end{array} \end{eqnarray*}$

... wobei man auch die $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ nach vorne bringt und nicht nur $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ .

HTH
___________

Edit: Mit einem Wort ist man natürlich schneller ... Freude

21.04.2012, 06:32

Nubler

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RE: Ableitung

Zitat:

Original von SusiQuad
@MatheMaus

... indem man die LOG-Regeln $\begin{eqnarray*} \log(a^b)= b \cdot log(a) \end{eqnarray*}$ beherrscht ...

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{lll} f(x) &=& \ln \left[ \dfrac{1}{(1-e^x)^2} \right] \\ &=& \ln \left[ (1-e^x)^{-2} \right] \\ &=& -2 \cdot \ln \left( 1-e^x \right) \\ \end{array} \end{eqnarray*}$

... wobei man auch die $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ nach vorne bringt und nicht nur $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ .

HTH
___________

Edit: Mit einem Wort ist man natürlich schneller ... Freude

wobei man das hier so nicht machen darf, überleg dir warum

21.04.2012, 07:02

SusiQuad

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RE: Ableitung
@Nubler
... weil ich beim Kopieren in der Formel die runden Klammern hab stehen lassen ...

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{llll} f(x) &=& \ln \left[ \dfrac{1}{(1-e^x)^2} \right] &\qquad \mathrm{Exp.Gesetz} \\ &=& \ln \left[ (1-e^x)^{-2} \right] &\qquad \mathrm{Log.Gesetz}\\ &=& -2 \cdot \ln \left| 1-e^x \right| &\qquad \mathrm{Betrag}\\ \end{array} \end{eqnarray*}$

... statt sie direkt in der ersten Zeile zu ersetzen.

21.04.2012, 07:14

HAL 9000

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Man könnte auch gleich direkt die Ableitungsregel

$\begin{eqnarray*} (\ln|x|)' = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

nutzen, die für alle $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt, d.h. auch für negative $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Vielleicht wird da in der Schule nicht deutlich genug darauf hingewiesen.

21.04.2012, 16:27

retsam

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Die Betragsstriche müssen doch deshalb gesetzt werden, da im Exponenten eine zwei steht. Würde beispielsweise eine drei stehen, könnte man ohne Betragsstriche rechnen.

21.04.2012, 18:58

SusiQuad

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@retsam
Nö.

Für einen geraden Exponenten brauche ich $\begin{eqnarray*} |~.~| \end{eqnarray*}$ erst zum Schluss setzen (bezogen auf den 07:02 -Beitrag). Ich habe $\begin{eqnarray*} (1-e^x)^2 ~=~ |\,1-e^x\,|^2 \end{eqnarray*}$ von Anfang an.

Für ungerade Exponenten schränkt sich $\begin{eqnarray*} \mathbb D_f =\mathbb R \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ ein auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{{\color{red}-}} \end{eqnarray*}$ . Hier MUSS ich $\begin{eqnarray*} |~.~| \end{eqnarray*}$ von Anfang an verwenden, damit $\begin{eqnarray*} \mathbb D_f =\mathbb R \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ Sinn macht.

[attach]24101[/attach]

Mit abs bekomme ich auch rechte Äste ...
[attach]24102[/attach]

21.04.2012, 20:04

retsam

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Das heißt

bei ungeraden Exponenten muss man die Betragsstriche setzen, damit die Definitionsmenge erhalten bleibt. Wenn man keine Betragsstriche setzen würde, würde sich die Definitionsmenge ändern.

Was meinst du mit von Anfang an setzen oder am Schluss setzen?

Betragsstriche muss man doch setzen, wenn man den Exponenten nach vorne zieht.

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