Fixpunkt

21.04.2012, 07:59

ChronoTrigger

Fixpunkt

Hallo,

folgende Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten:

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} \Omega \subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ eine abgeschlossene Menge. Für $\begin{eqnarray*} F: \Omega \to \Omega \end{eqnarray*}$ gelte:

Es gibt ein $\begin{eqnarray*} K < \frac12 \end{eqnarray*}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in \Omega \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} ||F(x)-F(y) \leq K(||F(x)-x||+||F(y)-y||) \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie: F besitzt genau einen Fixpunkt in $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ .

Ich wollte das jetzt mit dem Fixpunktsatz von Banach zeigen. Also muss ich die Voraussetzungen für den Satz überprüfen:

$\begin{eqnarray*} 1) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist eine abgeschlossene Teilmenge eines endlich dimensionalen Raumes, und damit direkt auch schon vollständig.

$\begin{eqnarray*} 2) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist eine Selbstabbildung, weil ja schon $\begin{eqnarray*} F: \Omega \to \Omega \end{eqnarray*}$ gilt per Voraussetzung.

$\begin{eqnarray*} 3) \end{eqnarray*}$ Jetzt muss ich nur noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ eine Kontraktion auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist, d.h. ich muss zeigen, dass $\begin{eqnarray*} ||F(x)-F(y)||\leq L||x-y|| \forall x,y \in \Omega \text{ mit } L<1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Nun weiß ich allerdings noch nicht so richtig, wie ich hier meine Voraussetzung anwenden kann.

Kann mir jemand einen Tipp geben?

danke schonmal im voraus.

22.04.2012, 11:20

ChronoTrigger

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Ich hab nochmal ein wenig nachgedacht...

Wenn ich nun zeigen könnte, dass $\begin{eqnarray*} ||F(x)-x||+||F(y)-y|| \leq 2 ||x-y|| \end{eqnarray*}$ ist, würde schon direkt die Kontraktions-Eigenschaft stehen..

leider weiß ich hier aber immer noch nicht, wie ich das sinnvoll zeigen könnte

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