Charakteristisches Polynom

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moonie Auf diesen Beitrag antworten »
Charakteristisches Polynom
Meine Frage:
Habe ein Problem bei folgender Aufgabe: Ich soll das char. Polynom von folgender Matrix bestimmen:


Ich weis, dass ich det(A-XE) berechnen muss. Aber hieran scheitert es leider. Ich benötige das char Polynom nämlich in Linearfaktoren zerlegt, da ich danach alle reellen A bestimmen soll, für die die Matrix diagonalisierbar ist.

Wie geht man bei soetwas am geschicktesten vor? Habe bei allen solchen Aufgaben das Problem, das char. Polynom zu bestimmen.

Meine Ideen:
Meine Idee wäre: Entwickeln nach der ersten Spalte.
soase Auf diesen Beitrag antworten »

Die selbe Aufgabe gab´s doch schon vor zwei Tagen?
Außerdem: Wo ist das Problem beim ausrechnen einer Determinante einer 3x3-Matrix ?
moonie Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist, diese dann in Linearfaktoren zu vereinfachen.
Ich habe es nämlich bis hierhin:
(2-x)*(x²-2x-2ax+3a+a²)
Jetzt müsste ich die zweite Klammer noch in Linearfaktoren zerlegen, damit ich anschließend die Nullstellen des char. Polynoms ablesen kann. Und hieran scheitert es leider:-(
soase Auf diesen Beitrag antworten »

Mitternachtsformel? (auch bekannt als Lösungsformel für Pol. vom Grad 2)
Es geht doch hier um die Diagonalisierbarkeit der Matrix in den reellen Zahlen, oder?
Dann ist die vollständige Faktorisierung des char. Pol. gar nicht nötig.
Es reicht zu wissen wann es vollständig zerfällt und man die evtl. auftrtenden 2 Spezialfälle eines EW mit alg. Vielfachheit 2 betrachten. (oder ein Spezialfall mit Vielfachheit 3)

Als Anmerkung:
Als Mathematiker sollte man sich angewöhnen sich exakt auszudrücken. Im ersten Post sagtest du noch das Problem sei die Bestimmung des char. Pol.; jetzt ist es die faktorisierung desselben, das ist schon ein ziemlicher unterschied.
moonie Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Die Aufgabe lautet: Bestimmen sie die Menge aller reelen a, für die A diagonalisierbar ist.
Mit der Mitternachtsformel habe ich als Nullstellen:

x1|2= (4a ) /2
soase Auf diesen Beitrag antworten »

Die NST sind falsch.
Und wie gesagt es geht im wesentlichen darum wann das Polynom zerfällt.
 
 
moonie Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie findet man heraus, wann das Polynom zerfällt?
Ich wollte jetzt die EW berechnen und dann die Bedingungen für Diagonalisierbarkeit überprüfen.
soase Auf diesen Beitrag antworten »

Dass das Polynom zerfällt ist bereits eine Bedingung für Diagonalisierbarkeit.

Und folgende Frage ist ernst gemeint:
Hast du in der Schule die Mitternachtsformel nicht kennengelernt? Da bespricht man normalerweise auch ein Kriterium wann eine Parabel keine, eine oder zwei Nullstellen hat.
moonie Auf diesen Beitrag antworten »

In meinem Skript steht: Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn ihr char Polynom in Linearfaktoren zerfällt und wenn für alle Eigenwerte die geometrische und algebraische Vielfachheit gleich sind. Diesen letzten Teil möchte ich überprüfen, dazu benötige ich aber das char. Polynom in Linearfaktoren.

Das was du angesprochen hast, habe ich in der Schule nicht gelernt. Ich habe mich aber vermutlich gestern bei der Mitternachtsformel verrechnet.
soase Auf diesen Beitrag antworten »

Ich zitiere mich mal selbst:
Zitat:
Die NST sind falsch.

und zwar definitiv nicht nur "vermutlich".
Zitat:
Dann ist die vollständige Faktorisierung des char. Pol. gar nicht nötig. Es reicht zu wissen wann es vollständig zerfällt und man die evtl. auftretenden 2 Spezialfälle eines EW mit alg. Vielfachheit 2 /3 betrachten muss.
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