Ungleichung zeigen

23.01.2007, 18:58

MSAD

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Ungleichung zeigen

Hallo,

ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} ln(x)^{ln(x)} > x^3 \end{eqnarray*}$

Wie stelle ich das an?

Da muss man schon verdammt hohe Werte nehmen, damit das stimmt!? Also vollständige Induktion geht deswegen erst einmal schlecht, ich kann ja nicht sagen für x=10000.

Mit dem PC habe ich mal den Grenzwert ausgerechnet

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{ln(x)^{ln(x)}}{x^3} = \infty \end{eqnarray*}$

Folglich muss ja der LN hoch LN überlagern. Ich finde nur keine Begründung. De L'Hospital ist auch schlecht, ich weiss nicht, wie man ln(x)^ln(x) differenzieren würde.

Hoffe, dass ihr mir da helfen könnt.

Vielen Dank!

23.01.2007, 20:06

papahuhn

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RE: Ungleichung zeigen
$\begin{eqnarray*} {(ln(x))}^{ln(x)} = {(e^{ln(ln(x))})}^{ln(x)} = e^{ln(x)ln(ln(x))} \end{eqnarray*}$ . Dann Kettenregel benutzen.

Nachtrag:
Mir fällt gerade auf, dass du Hospital nicht unbedingt brauchst. Es ist nämlich $\begin{eqnarray*} ln(x) > e^4 \end{eqnarray*}$ für große x.

23.01.2007, 20:19

AD

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Zitat:

Original von papahuhn
Es ist nämlich $\begin{eqnarray*} ln(x) > e^4 \end{eqnarray*}$ für große x.

$\begin{eqnarray*} ln(x) > e^3 \end{eqnarray*}$ reicht auch schon. In dem Zusammenhang heißt die Aufgabenstellung wohl auch eher so ähnlich:

Zeige, dass für große $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} ln(x)^{ln(x)} > x^3 \end{eqnarray*}$ gilt. Genauer, dass es ein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass diese Ungleichung für alle $\begin{eqnarray*} x\geq x_0 \end{eqnarray*}$ gilt.

23.01.2007, 21:17

MSAD

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Es ist mir nicht ersichtlich, warum wir hier über $\begin{eqnarray*} e^4 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} e^3 \end{eqnarray*}$ reden. Warum verschwindet das $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ ?

Wenn wir mit e potenzieren (sagt man das so?), dann haben wir ja

$\begin{eqnarray*} e^{ln(x)ln(ln(x))} > e^{x^3} \end{eqnarray*}$ .

Also es hat bei mir noch nicht klick gemacht. Die Idee verstehe ich leider auch nicht, weil ich nicht weiss, wohin das x^3 verschwindet.

23.01.2007, 21:23

AD

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Geh mal in die andere Richtung: Logarithmiere die Ausgangsungleichung!

23.01.2007, 21:48

MSAD

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Also

$\begin{eqnarray*} ln(x)^{ln(x)} > x^3 \end{eqnarray*}$

ln( ln(x)^{ln(x)} > ln(x^3)

und nun ist per Definition der linke Term

$\begin{eqnarray*} e^{ln(ln(x)^{ln(x)}} > ln(x^3) \end{eqnarray*}$

Das war wohl nicht gemeint?

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23.01.2007, 21:50

papahuhn

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Wende auf $\begin{eqnarray*} ln(ln(x)^{ln(x)}) > ln(x^3) \end{eqnarray*}$ eine der abzählbar vielen Logarithmengesetze an, die du so kennst.

23.01.2007, 22:10

MSAD

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$\begin{eqnarray*} LN(e^{LN(x)*LN(LN(x)))} < LN(x^3) \end{eqnarray*}$

Was anderes kann ich mir jetzt nicht vorstellen...

Ich kenne zwar noch LN(a*b) = LN(a) + LN(b). Ähnlich bei geteilt.

Sorry, ich weiß echt nicht, was ihr meint

23.01.2007, 22:13

papahuhn

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Wie wärs mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{ln}(a^b) = b \operatorname{ln}(a) \end{eqnarray*}$ .

23.01.2007, 22:47

MSAD

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Und dann habe ich

$\begin{eqnarray*} LN(x)*LN(LN(x))*LN(e) < LN(x^3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} LN(x)*LN(LN(x)) < LN(x^3) \end{eqnarray*}$

und dann durch LN(x) teilen?

$\begin{eqnarray*} LN(LN(x)) < LN(x^3-x) \end{eqnarray*}$

??
Ich drehe mich im Kreis.

23.01.2007, 22:50

AD

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Es ist immer wieder faszinierend, wie man eine Mücke zum Elefanten aufblasen kann...

Genug der Scherze: Wie zum Teufel kommst du rechts auf $\begin{eqnarray*} \ln(x^3-x) \end{eqnarray*}$ ? geschockt

geschockt

23.01.2007, 22:58

MSAD

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Es ist immer wieder faszinierend, wie man eine Mücke zum Elefanten aufblasen kann...

Dann lass die Katze doch aus dem Sack Augenzwinkern

Augenzwinkern

[quote]Original von Arthur Dent
Genug der Scherze: Wie zum Teufel kommst du rechts auf $\begin{eqnarray*} \ln(x^3-x) \end{eqnarray*}$ ? geschockt

geschockt

Ich habe da die Logarithmengesetze durcheinander gebracht, das sollte ln(x^2) werden.

Aber so wie ich dich verstanden habe, konnte ich mir das Teilen auch sparen?

23.01.2007, 23:01

AD

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Das ist genauso falsch. Wie vereinfacht man

$\begin{eqnarray*} \frac{\ln(x^3)}{\ln(x)} \end{eqnarray*}$

unter richtiger Anwendung der Logarithmengesetze?

Verschoben

23.01.2007, 23:10

MSAD

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Das ist genauso falsch. Wie vereinfacht man

$\begin{eqnarray*} \frac{\ln(x^3)}{\ln(x)} \end{eqnarray*}$

unter richtiger Anwendung der Logarithmengesetze?

Verschoben

Wahrscheinlich gar nicht?

Oder so: $\begin{eqnarray*} log_x(x^3) \end{eqnarray*}$ unglücklich

unglücklich

23.01.2007, 23:13

AD

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$\begin{eqnarray*} \ln(x^3) = 3\ln(x) \end{eqnarray*}$ , mehr sag ich jetzt nicht mehr.

23.01.2007, 23:22

MSAD

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Geil, jetzt habe ich es!

1000 Dank!!!!!! Mit Zunge

Mit Zunge

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