Aufgabe zum Anfangswertproblem

21.04.2012, 13:18

steviehawk

Aufgabe zum Anfangswertproblem

Meine Frage:
Hallo Leute ich soll folgendes Anfangswertproblem lösen, allerdings kenne ich mich mit dem Thema noch nicht so aus, brauche also noch Hilfe:

$\begin{eqnarray*} y' = e^y sin(x) \end{eqnarray*}$ durch Separation der Variablen, habe ich dann:

$\begin{eqnarray*} -e^{-y} = -cos(x) + C \end{eqnarray*}$ raus, was ich ja schreiben kann als:

$\begin{eqnarray*} y = - log(cos( x) + C) \end{eqnarray*}$

so jetzt habe ich die Anfangsbedingung: $\begin{eqnarray*} y(0) = 0 \end{eqnarray*}$

wenn ich das aber einsetze, dann bekomme ich ja:

$\begin{eqnarray*} - log(cos(0) + C) = 0 \end{eqnarray*}$ so der cos(0) = 1 also:

$\begin{eqnarray*} -log(1+C) = 0 \end{eqnarray*}$ nun wird der log aber ja nie Null egal wie ich mein C wähle.. wie löse ich dann das Problem??

Meine Ideen:
Danke für die Hilfe

Edit: Mir fällt gerade auf, dass ich da Unsinn rede, denn log(1) = 0 gilt ja, also wähle ich einfach mein C = 0 oder, dann müsste es doch passen!

21.04.2012, 14:32

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zum Anfangswertproblem
Ja, das Ergebnis stimm jetzt.
Du solltest nur beachten, dass das C nicht immer dasselbe bleibt, sondern an einer Stelle das Vorzeichen wechselt. Wobei das aber für C=0 in diesem Fall immer noch richtig wäre.

21.04.2012, 18:42

steviehawk

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zum Anfangswertproblem
jetzt muss ich noch das maximale Existenzintervall angeben..

Was hat es denn damit aufsich??

Das müsste doch das größt mögliche Intervall sein, indem mein y(x) definiert ist oder?

22.04.2012, 10:06

KnowingLizard

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zum Anfangswertproblem

Zitat:

Original von steviehawk
jetzt muss ich noch das maximale Existenzintervall angeben..

Was hat es denn damit aufsich??

Das müsste doch das größt mögliche Intervall sein, indem mein y(x) definiert ist oder?

Genau das interessiert mich auch, hoffentlich kann uns jemand helfen. Außerdem würde mich interessieren, wie man mit den Betraggstrichen bei der Integration von 1/x zu verfahren hat, wenn eine solche Integration zur Lösung der DGL nötig ist, siehe dazu insbesondere die Aufgabe dort (auch von dir gestellt):
Anfangswertproblem Aufgabe

22.04.2012, 13:09

steviehawk

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zum Anfangswertproblem
Ich habe in der anderen Aufgabe die "KnowingLizard" verlinkt hat, was zum Existenzintervall geschrieben, was ich mal hier versuche anzuwenden:

durch den Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \int_{y_0}^y \! \frac{1}{g} \, dt = \int_{x_0}^x \! f \, dt \end{eqnarray*}$ und einsetzen bekommt man ja die allgemeine Lösung des AWP..

so ich habe dann:

$\begin{eqnarray*} y(x) = -log(cos(x)) = log(\frac{1}{cos(x)}) \end{eqnarray*}$

so jetzt schau ich mal wo diese Abbildung definiert ist.

Für den log muss ja 1/cos(x) größer als Null sein, also muss der cos(x) größer als Null sein.

Dann ergibt sich doch das Intervall: $\begin{eqnarray*} I = [0,\pi) \end{eqnarray*}$ oder? aus diesem Intervall kann ich alle einsetzen und das AWP ist auch gelöst.

Natürlich gibt es weiter hinten auch noch cos(x) Werte die größer als Null sind, aber ich muss ja die AB erfüllen, also y(0) = 1 und das geht nur in dem Intervall..

passt das so??

Danke

22.04.2012, 13:37

KnowingLizard

Auf diesen Beitrag antworten »

Von der Idee her hätte ich das auch so gedacht, aber der cos ist auf $\begin{eqnarray*} (-\pi / 2, \pi / 2) \end{eqnarray*}$ größer als null, oder nicht? smile

(Jemand anderes will uns offenbar nicht helfen Augenzwinkern

)

22.04.2012, 13:49

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es ein Intervall werden soll, ist $\begin{eqnarray*} (-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2) \end{eqnarray*}$ richtig.

22.04.2012, 14:11

steviehawk

Auf diesen Beitrag antworten »

oh stimmt.. da war ich wohl etwas unaufmerksam Hammer

23.04.2012, 21:01

steviehawk

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir gerade die Aufgabe noch mal angeschaut, und mir ist klar, wie ich auf:

$\begin{eqnarray*} (-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2) \end{eqnarray*}$

komme, aber wie gesagt ist der cos(x) ja noch an vielen anderen Stellen größer Null, kann ich denn die anderen Werte irgendwie in das Intervall mit reinehmen, durch den Faktor k, oder muss es ein zusammenhängendes Intervall sein..??

Danke

23.04.2012, 22:32

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Nenn mir mal ein Intervall, das nicht zusammenhängend ist.

Neue Frage »

Antworten »

Aufgabe zum Anfangswertproblem

Verwandte Themen