DGL - Beweis einer Abschätzung

21.04.2012, 15:40

KnowingLizard

DGL - Beweis einer Abschätzung

Im Rahmen einer größeren Aufgabe im Themenbereich der Differentialgleichungen soll ich gegen Ende derselbigen folgendes beweisen (erst einmal die gegebenen Voraussetzungen):

Für f: D->IR stetig soll gelten: Es ex. ein L > 0, so dass ( $\begin{eqnarray*} (x, y_k) \in D, k = 1,2 \end{eqnarray*}$ )
$\begin{eqnarray*} |f(x, y_1) - f(x, y_2)| \leq L |y_1 - y_2| \end{eqnarray*}$ .
Seien $\begin{eqnarray*} g_k: \end{eqnarray*}$ I -> IR, k = 1, 2 Lösungen des Anfangswertproblems
$\begin{eqnarray*} y'=f(x,y) \end{eqnarray*}$ |||| $\begin{eqnarray*} y(x_0) = y_{0,k}, k = 1, 2 \end{eqnarray*}$

Dann ist zu zeigen (Hinweis: Integrieren Sie die DGL):
$\begin{eqnarray*} |g_1(x) - g_2 (x)| \leq |y_{0,1}-y_{0,2}|*e^{L*|x-x_0|}, x \in I \end{eqnarray*}$

________________________________
Mein Ansatz und zwei Hilfsmittel:
Zuvor habe ich in der Aufgabe bereits folgende Aussage bewiesen:
Für stetiges g: [a,b]->IR, für das ein L > 0 existiert, so dass
$\begin{eqnarray*} g(x) \leq g_0 + L*\int_a^x \! g(t) \, dt , x \in [a, b] \end{eqnarray*}$
gilt:
$\begin{eqnarray*} g(x) \leq g_0 * e^{L(x-a)} \end{eqnarray*}$ .

Da es bei der Aufgabe eigentlich um DGLs geht, war mir recht schnell klar, dass ich diese Aussage wohl benutzen muss für das, was ich nun zeigen muss.
Mir ist dann auch aufgefallen, dass diese Aussage angewendet auf
$\begin{eqnarray*} g(x) := |g_1(x)-g_2(x)| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_0:=g(x_0)=|y_{0,1}-y_{0,2}| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a := x_0 \end{eqnarray*}$ unmittelbar zum Ziel führen würde, dafür musste ich aber beweisen, dass die Voraussetzung zur Verwendung dieses Hilfsmittels für mein g(x) erfüllt sind, woran ich bisher gescheitert bin.

Außerdem soll man wohl (s.o.) die DGL integrieren, um ans Ziel zu kommen, dann würde ich ja wohl z.B. (schon hier bin ich mir unsicher)
$\begin{eqnarray*} \int_{g_2}^{g_1} \! y' \, dy = \int_{g_2}^{g_1} \! f(x, y) \, dy \end{eqnarray*}$ d.h.
$\begin{eqnarray*} g_1(x)-g_2(x) = \int_{g_2}^{g_1} \! f(x, y) \, dy \end{eqnarray*}$
erhalten, oder?

Ich hoffe auf eure Mithilfe, bin da gerade nämlich wohl leider alleine etwas hilflos bei der Aufgabe und es wäre für mich wirklich wichtig, diese Aufgabe zu bewältigen und zu verstehen, aber ich sitze da jetzt schon seit Tagen dran und habe immernoch keinen sinnvollen Ansatz, so heftig war das noch bei keiner Aufgabe bisher verwirrt

22.04.2012, 01:49

gonnabphd

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Hi,

Zitat:

Außerdem soll man wohl (s.o.) die DGL integrieren, um ans Ziel zu kommen, dann würde ich ja wohl z.B. (schon hier bin ich mir unsicher)
$\begin{eqnarray*} \int_{g_2}^{g_1} \! y' \, dy = \int_{g_2}^{g_1} \! f(x, y) \, dy \end{eqnarray*}$ d.h.
$\begin{eqnarray*} g_1(x)-g_2(x) = \int_{g_2}^{g_1} \! f(x, y) \, dy \end{eqnarray*}$
erhalten, oder?

Das hier macht nicht wirklich viel Sinn... obere und untere Integralgrenzen müssen Zahlen sein, aber $\begin{eqnarray*} g_1, \, g_2 \end{eqnarray*}$ sind doch Funktionen!

Allerdings weisst du nach Voraussetzung, dass
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} g_i(x) = f(x,g_i(x)) \end{eqnarray*}$
gilt. Weiterhin gilt für jede stetig differenzierbare Funktion f(x)
$\begin{eqnarray*} f(x) - f(a) = \int_a^x f'(t) \, dt \end{eqnarray*}$
nach dem Fundamentalsatz der Analysis. Was bekommst du nun, wenn du das anwendest auf $\begin{eqnarray*} f(x) = g_1(x) - g_2(x) \end{eqnarray*}$ ? Wie hängt das mit dem zuvor gelösten Aufgabenteil zusammen?

Grüsse smile

22.04.2012, 09:11

KnowingLizard

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Zitat:

Original von gonnabphd

Allerdings weisst du nach Voraussetzung, dass
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} g_i(x) = f(x,g_i(x)) \end{eqnarray*}$
gilt. Weiterhin gilt für jede stetig differenzierbare Funktion f(x)
$\begin{eqnarray*} f(x) - f(a) = \int_a^x f'(t) \, dt \end{eqnarray*}$
nach dem Fundamentalsatz der Analysis. Was bekommst du nun, wenn du das anwendest auf $\begin{eqnarray*} f(x) = g_1(x) - g_2(x) \end{eqnarray*}$ ? Wie hängt das mit dem zuvor gelösten Aufgabenteil zusammen?

Vielen Dank für die Hinweise schonmal Freude

Aber so ganz komme ich noch nicht dahinter...
Die beiden Funktionen f in
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} g_i(x) = f(x,g_i(x)) \end{eqnarray*}$
und in "anwendest auf $\begin{eqnarray*} f(x) = g_1(x) - g_2(x) \end{eqnarray*}$ " sind ja nun nicht dieselben, oder etwa doch?
Soll ich nun den Fundamentalsatz oder die DGL auf $\begin{eqnarray*} f(x) = g_1(x) - g_2(x) \end{eqnarray*}$ anwenden? Habe hier gerade allerlei Varianten probiert, aber mir ist nichts ins Auge gesprungen, was mir weiterhelfen würde...

Dein von dir definiertes f im Fundamentalsatz ergibt ja
$\begin{eqnarray*} g_1(x)-g_2(x)-g_1(a)+g_2(a) = \int_a^x g_1'(t)-g_2'(t) \, dt \end{eqnarray*}$
Da rechts nun die Ableitungen von $\begin{eqnarray*} g_i \end{eqnarray*}$ vorkommen, sieht das nun irgendwie aus, als könnte ich nun die DGL anwenden, aber wenn das $\begin{eqnarray*} f(x,g_i(x)) \end{eqnarray*}$ darin nicht das von dir definierte f ist, dann weiß ich über das f ja gar nichts. Wenn es hingegen das von dir definierte ist, dann würde es ja nicht vom jeweiligen $\begin{eqnarray*} g_i \end{eqnarray*}$ abhängen, sondern wäre fest $\begin{eqnarray*} f(x, g_i(x)) = g_1(x) - g_2(x) \end{eqnarray*}$ , was aber in das Integral eingesetzt dann keinen Sinn machen würde (da dann $\begin{eqnarray*} g_1'(t)=g_2'(t) \end{eqnarray*}$ nach der DGL gelten würde).

Ich bin gerade also etwas verwirrt

Und der Hinweis mit der Integration der DGL ist dann ein Irrweg?

22.04.2012, 15:40

gonnabphd

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Zitat:

Die beiden Funktionen f in
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} g_i(x) = f(x,g_i(x)) \end{eqnarray*}$
und in "anwendest auf $\begin{eqnarray*} f(x) = g_1(x) - g_2(x) \end{eqnarray*}$ " sind ja nun nicht dieselben, oder etwa doch?

Ah, sorry, das war sehr ungeschickt, die zweite Funktion f(x) sollte nichts mit der ersten zu tun haben. Der Tipp war so gemeint:

Zitat:

Allerdings weisst du nach Voraussetzung, dass
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} g_i(x) = f(x,g_i(x)) \end{eqnarray*}$
gilt. Weiterhin gilt für jede stetig differenzierbare Funktion G(x)
$\begin{eqnarray*} G(x) - G(a) = \int_a^x G'(t) \, dt \end{eqnarray*}$
nach dem Fundamentalsatz der Analysis. Was bekommst du nun, wenn du das anwendest auf $\begin{eqnarray*} G(x) = g_1(x) - g_2(x) \end{eqnarray*}$ ? Wie hängt das mit dem zuvor gelösten Aufgabenteil zusammen?

hier

Zitat:

Dein von dir definiertes f im Fundamentalsatz ergibt ja $\begin{eqnarray*} g_1(x)-g_2(x)-g_1(a)+g_2(a) = \int_a^x g_1'(t)-g_2'(t) \, dt \end{eqnarray*}$

ist auch genau, was ich meinte. Nun kannst du recht die Info verwenden, dass g_1, g_2 Lösungen einer DGL sind. Dann verwende deine Information über f(x,y).

22.04.2012, 20:29

KnowingLizard

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Uuuh, ich glaube, ich bin dem Ganzen jetzt auf der Spur, vielen Dank, auch dafür, mich nicht aufgegeben zu haben, hier mal meine Ideen (bzw. eher die Umsetzung deiner Ratschläge Big Laugh

), Rückmeldung wäre großartig:

$\begin{eqnarray*} g_1(x)-g_2(x)-g_1(a)+g_2(a) = \int_a^x g_1'(t)-g_2'(t) \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow g_1(x)-g_2(x) = g_1(a)-g_2(a) + \int_a^x g_1'(t)-g_2'(t) \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow |g_1(x)-g_2(x)| = |g_1(a)-g_2(a) + \int_a^x g_1'(t)-g_2'(t) \, dt| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow |g_1(x)-g_2(x)| \leq |g_1(a)-g_2(a)| + \int_a^x |g_1'(t)-g_2'(t)| \, dt \end{eqnarray*}$
mit der DGL und anschließend mit der Bedingung für f:
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow |g_1(x)-g_2(x)| \leq |g_1(a)-g_2(a)| + \int_a^x \! |f(t,g_1(t))-f(t,g_2(t))| \, dt \leq |g_1(a)-g_2(a)| + L * \int_a^x \! |g_1(t)-g_2(t)| \, dt \end{eqnarray*}$

Damit für $\begin{eqnarray*} a := x_0 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} g_0 := |g_1(a)-g_2(a)| = |y_{0,1} - y_{0,2}| \end{eqnarray*}$ (Anfangswertproblem) ist für h(x):=|g_1(x)-g_2(x)| die Bedingung erfüllt, um mein Ergebnis von vorher in der Aufgabe zu verwenden (für a = x_0), womit ich dann weiß:

$\begin{eqnarray*} h(x) \leq g_0 * e^{L*(x-x_0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow |g_1(x)-g_2(x)|\leq |y_{0,1} - y_{0,2}| * e^{L*(x-x_0 )} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \qed \end{eqnarray*}$

Oder? Wink

22.04.2012, 22:28

gonnabphd

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Zitat:

Oder?

Und ob!

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