Teilbarkeit von Primzahlen

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Nuup Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeit von Primzahlen
Aufgabe:
Seien , wobei eine Primzahl sei und gelte. Man zeige, dass dann oder gilt.

Mein Ansatz:
b teilt nicht p, da p Primzahl. Nach Bezout gilt dann . Also ist . Nach Voraussetzung teil b die Zahl bc und damit auch die rechte Seite der Gleichung. Somit ist b ein Teiler der linken Seite, also a.
Und jetzt? Irgendwie stehe ich mir gerade auf dem Schlauch.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nuup
b teilt nicht p, da p Primzahl.

Dieser Satz verwirrt mehr, als er nützt. Wenn du den streichst, und durch

Zitat:
Betrachten wir den Fall .

ersetzt, dann machen deine nachfolgenden Ausführungen Sinn. Augenzwinkern
Nuup Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, aber habe ich damit dann schon gezeigt, dass wenn gilt, gilt?
Nuup Auf diesen Beitrag antworten »

Und müssen wir nicht eher den Fall betrachten?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Obwohl der Beweis eh extrem kurz ist, solperst du da irgendwie über deine eigenen Füße... unglücklich

Du musst unter der gegebenen Voraussetzung b|pa, wobei p prim ist, einfach zwei Fälle betrachten:

1. Fall: ggT(p,b)=p

In diesem Fall gilt dann offensichtlich p|b...

2.Fall: ggT(p,b)=1

In desem Fall kannst du deine Schlußkette oben mit dem Theorem von Bezout anwenden, aus der dann b|a folgt...
Nuup Auf diesen Beitrag antworten »

Um sicher zu gehen, hier der vollständige Beweis:

Nach Voraussetzung gilt , wobei prim ist.

1. Fall:

Nach dem Satz von Bézout gibt es mit . Multipliziert man diese Gleichung mit ergibt sich . Nach Voraussetzung teilt die Zahl . Außerdem gilt (reflexiv) und somit teilt auch da . Aus der Eigenschaft iii) der Teilbarkeit folgt: für alle . Also ist auch ein Teiler der linken Seite der Gleichung, d.h. von .


2. Fall:
, da prim.
Daraus folgt logischerweise:

Ist das so richtig aufgeschrieben?
 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich kann mit deiner Fallunterscheidung absolut nichts anfangen, anscheinend genauso, wie du mit meiner nicht, da du dich überhaupt nicht daran hältst... Insbesondere sehe ich nicht unmittelbar, warum



gelten sollte... unglücklich
Nuup Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, wie kommst du denn auf deine Fallunterscheidung?

Ich habe ja einfach zunächst den einen Fall ausgeschlossen und gezeigt, dass dann der andere gelten muss und umgekehrt. Das mit dem ggT habe ich ehrlich gesagt nur von dir übernommen Big Laugh

Aber generell stimmt die Überlegung vom ggT aus betrachtet, oder?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Es muss entweder ggT(p,b)=1 oder ggT(p,b)=p sein, da der ggT zweier Zahler immer ein nichtnegativer Teiler dieser Zahlen ist und eine Primzahl p nur die beiden nichtnegativen Teiler p und 1 hat, d.h., hier geht die Prinmzahleigenschaft von p ganz wesentlich und unmittelbar ein... Es ist somit die natürlichste Sache der Welt, dass man von dieser Fallunterscheidung ausgeht...

Hier führt der Fall ggT(p,b)=p sofort auf p|b, d.h., die behauptung gilt, während man im Fall ggT(p,b)=1 eben über das Theorem von Bezout argumentieren muss, um zu sehen, dass dann b|a gilt, d.h., die Behauptung ebenfalls stimmt...
Nuup Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ok. Danke!

Du gehst also quasi gar nicht erst von der Voraussetzung aus, sondern betrachtest einfach den ggT von p und b und schließt dann daraus, dass unter der Voraussetzung Fall 1 oder 2 gilt?!
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Bingo! Freude
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