Beweis zum Integral stetiger Funktionen

21.04.2012, 16:30

Telperion

Beweis zum Integral stetiger Funktionen

Moin zusammen,
ich habe folgende Aufgabe:

Zitat:

Beweisen Sie für stetige Funnktionen $\begin{eqnarray*} f:[0;1] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Gleichung
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n}f\left(\frac{j}{n}\right)=\int_0^1f(x)\dx \end{eqnarray*}$

Bew:
Wir wissen, dass jede stetige, auf einem Kampaktum definierte Funktion, die nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ abbildet R-int'bar ist. Wir können nun den Mittelwertsatz der Integralrechnung anwenden. Also $\begin{eqnarray*} \exists \xi \in [0,1] : \int_0^1 f(x)\dx=f(\xi) \end{eqnarray*}$ .
Wir wählen nun eine Zerlegung $\begin{eqnarray*} (x_i)_{i\in \mathbb N}=\frac{i}{n} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt wegen der Integrierbarkeit:
$\begin{eqnarray*} |f(\xi)-\sum_{j=1}^n(x_i-x_{i-1})\cdot f(\xi_i)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \xi_i \in [x_{i-1},x_i] \end{eqnarray*}$ . Weiter ist $\begin{eqnarray*} x_i-x_{i-1}=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ womit sich der Ausdruck folgendermaßen vereinfachen lässt:
$\begin{eqnarray*} |f(\xi)-\sum_{i=1}^n \frac{1}{n}\cdot f(\xi_i)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ .
Jetzt ist die erste Frage: Ist das bis hierhin in Ordnung?
Dann sieht meine Ungleichung ja schon sehr nach "dem Ziel" aus, denn das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ lässt sich ja vor die Summe schreiben. Die frage ist nur, mit welcher Argumentation ich das $\begin{eqnarray*} \xi_i=\frac{i}{n} \end{eqnarray*}$ setzen darf. Vermutlich lässt sich da mit der Stetigkeit was machen?

Erstmal vielen Dank im Voraus fürs Anschauen und eventuelle Hilfe. smile

Liebe Grüße,
Dominik

21.04.2012, 21:47

HAL 9000

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Man braucht die Voraussetzung der Stetigkeit gar nicht - es genügt die Voraussetzung der Riemann-Integrierbarkeit auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ , was ja wesentlich schwächer ist.

Die Argumentation würde dann mit Unter- und Obersummen laufen, im Prinzip genau wie bei dir, nur dass da statt $\begin{eqnarray*} f(\xi_i) \end{eqnarray*}$ einmal $\begin{eqnarray*} \inf_{x\in [x_{i-1},x_i]} f(x) \end{eqnarray*}$ und das andere mal $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in [x_{i-1},x_i]} f(x) \end{eqnarray*}$ steht. Und $\begin{eqnarray*} f(x_i) \end{eqnarray*}$ liegt ja auf jeden Fall zwischen diesen Werten...

P.S.: Deine Aussage mit der Existenz des $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(\xi)=I \end{eqnarray*}$ (=Integralwert) ist zwar nett, aber wird hier gar nicht gebraucht. Man kann auch die ganze Zeit mit Wert $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ argumentieren. Augenzwinkern

22.04.2012, 02:58

gonnabphd

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Kurze Einmischung/Frage:

Zitat:

Original von Telperion

Zitat:

Wichtig wäre zu wissen, wie hierbei die rechte Seite definiert ist! Wenn die rechte Seite über Riemann-Summen definiert ist, dann wäre die Frage bspw. eine Trivialität. Wenn das Integral einer stetigen Funktion definiert ist als $\begin{eqnarray*} F(1) - F(0) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ eine Lösung der DGL $\begin{eqnarray*} F'(x) = f(x) \end{eqnarray*}$ ist, dann müsste das Argument wiederum anders verlaufen. Es gibt noch weitere Möglichkeiten der Definition des Integrals, deshalb wäre Aufklärung sicherlich gut, damit alle vom gleichen reden.

Hiermit klinke ich mich auch schon wieder aus. Augenzwinkern

22.04.2012, 14:24

Telperion

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Hallo,
erstmal muss ich mich entschuldigen, dass ich mich erst jetzt wieder melde... Das tut mir leid.
Dann danke ich euch beiden für die Antworten! Freude

Nun zum Thema:
@gonnabphd:
Wir haben gesagt:

Zitat:

Def:
Seien $\begin{eqnarray*} a,b,\in \mathbb R; a<b \end{eqnarray*}$ . Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:[a,b]\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ heißt Riemann-integrierbar, wenn sie beschränkt ist und $\begin{eqnarray*} \int_{a*}^b f(x)\dx=\int_{a}^{b*}f(x)\dx \end{eqnarray*}$ erfüllt. Dann heißt $\begin{eqnarray*} \int_a^bf(x)\dx \end{eqnarray*}$ das Riemann-integral von f über [a,b].

Wir haben hier definiert:

Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb R, a<b, f:[a,b]\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ beschränkt. Dann ist das Unterintegral definiert durch
$\begin{eqnarray*} \int_{a*}^b f(x)\dx := sup \left\{\int_a^b \phi(x) \dx, \phi \in T[a,b], \phi \leq f \right\} \end{eqnarray*}$

Das Oberintegral dann analog mit dem Infimum.
Wir haben allerdings als Bemerkung auch die Definition über die Riemannschen Summen eingeführt, weshalb ich ja auf den Ansatz kam. Dann bin ich aber doch eingentlich fertig, oder?
Die Gleichung $\begin{eqnarray*} F(1)-F(0) \end{eqnarray*}$ bekomme ich doch aus dem Hauptsatz, oder nicht? Der kam aber bei uns nach der Definition des Riemannintegrals... verwirrt

@ HAL 9000:

Gut, wenn ich die $\begin{eqnarray*} f(\xi_i) \end{eqnarray*}$ durch das Infimum des Wertes der Treppenfunktion bzw. das Supremum in dem Intervall ersetze spare ich mir den Betrag. Die Existenz jener bekomme ich dann aus der R-int'barkeit. Dann kann ich sagen, dass die $\begin{eqnarray*} f(x_i) \end{eqnarray*}$ auf jeden Fall dazwischen liegen und jeweils den Wert $\begin{eqnarray*} f\left(\frac{i}{n}\right) \end{eqnarray*}$ haben, richtig?
Und zu deiner Anmerkung: Ja, du hast Recht, den Zusatz mit dem MWSDI kann ich mir sparen. Ich hatte das noch aus einem früheren Beweisansatz übernommen und dachte mir, dass es ja nicht schaden kann. Augenzwinkern

Liebe Grüße,
Dominik smile

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