Beweis Polynome mit stetigen Fkt. C -> C identifizieren

21.04.2012, 17:24

happy12

Beweis Polynome mit stetigen Fkt. C -> C identifizieren

Meine Frage:
Hallo,
ich soll zeigen, dass:
$\begin{eqnarray*} f,g \in \mathbb C(t) \end{eqnarray*}$ definieren die gleiche Funktion $\begin{eqnarray*} \mathbb C -> \mathbb C \end{eqnarray*}$
äquivalent zu
alle Koeffizienten von f und g sind gleich.

Meine Ideen:

Meine Idee sieht wie folgt aus:
Angenommen f(t)=0 für alle $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} f(t)=a_{n}*t^n+a_{n-1}*t^{n-1}+...+a_{0} \end{eqnarray*}$ .
Setze t=0 um zu folgern, dass $\begin{eqnarray*} a_{0}=0 \end{eqnarray*}$ ist. Dann folgt $\begin{eqnarray*} f(t)=t*(a_{n}*t^{n-1}+...+a_{1})=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ , also auch $\begin{eqnarray*} a_{n}*t^{n-1}+...+a_{1}=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ .
Mit vollständiger Induktion nach n folgert man nun, dass $\begin{eqnarray*} a_{k}=0 \end{eqnarray*}$ ist für alle i=0,...,n.

Stimmt das so oder seht ihr noch nen Denkfehler?
BIn für jedes Drüberschauen und Mitdenken dankbar.

21.04.2012, 20:43

lp-raum

Auf diesen Beitrag antworten »

Eventuell nur ein Schreibfehler, aber $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}(t) \end{eqnarray*}$ ist die Menge der rationalen Funktionen mit Koeffizienten in C, nicht nur der Polynome.
Der Teil, den du gemacht hast, passt.

21.04.2012, 21:20

happy12

Auf diesen Beitrag antworten »

dann sind f, g einfach nur $\begin{eqnarray*} \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ ?

Danke fürs Kommentieren!

21.04.2012, 22:06

lp-raum

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von happy12
dann sind f, g einfach nur $\begin{eqnarray*} \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ ?

Was meinst du? Wenn wirklich rationale Funktionen gemeint sind, das sind Quotienten von Polynomen $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$

21.04.2012, 23:07

happy12

Auf diesen Beitrag antworten »

ach so klar, das hast du gemeint, steh allerding jetzt gerade nen bisschen auf dem schlauch wie ich den beweis dementsprechend anpassen müsste, was fehlt denn dann jetzt noch ?

22.04.2012, 01:39

lp-raum

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch nur gezeigt, dass ein Polynom, das überall Null ist, das Nullpolynom sein muss (alle Koeffizienten 0 sind). Die Frage ist, warum aus f=g folgt, dass f und g alle Koeffizienten gleich haben.

22.04.2012, 04:43

SusiQuad

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis Polynome mit stetigen Fkt. C -> C identifizieren
Ein paar Zeilen zur Orientierung:

Für mich ist $\begin{eqnarray*} \mathbb C [X] = \{ a_0 + a_1\,X + \ldots + a_n\,X^n ~|~ a_i \in \mathbb C\} \end{eqnarray*}$ Ring mit $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$
über einem Körper $\begin{eqnarray*} K\colon=\mathbb C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \in K \end{eqnarray*}$ .

Für zwei Elte. $\begin{eqnarray*} f,g\in \mathbb C [X] \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f\overset{\mathbb C [X]}{=} g \colon\iff a_i=b_i \quad\forall~i \end{eqnarray*}$

Andererseits ist jedes $\begin{eqnarray*} f\colon\mathbb C \to \mathbb C ~,~ X \mapsto f(X) \end{eqnarray*}$ eine Funktion.

Z.zg. ist, dass $\begin{eqnarray*} f~\sim~g \end{eqnarray*}$ eine Äquivalenzrel. auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C [X] \end{eqnarray*}$ ist
mit $\begin{eqnarray*} f~\sim~g \quad:\iff \quad f(X)=g(X)\quad\forall X\in \mathbb C \end{eqnarray*}$

Bzw. gleichwertig: $\begin{eqnarray*} f(X)-g(X)=0 \quad\forall X\in \mathbb C \end{eqnarray*}$

Dies zerlegt $\begin{eqnarray*} \mathbb C [X] \end{eqnarray*}$ disjunkt.
Bleibt nur zu überlegen, warum $\begin{eqnarray*} [0] \in \mathbb C [X]_\slash_{\sim} \end{eqnarray*}$ einelementig ist (was bei sonstigen, z.B. endlichen PolyRingen nicht der Fall ist).

Stichwort: Identitätssätze von Funktionen.
Darfs nicht nur stetig, sondern auch $\begin{eqnarray*} C^{\infty} \end{eqnarray*}$ sein, wirds einfach ... ?!

22.04.2012, 11:44

happy12

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis Polynome mit stetigen Fkt. C -> C identifizieren
also muss ich jetzt nur noch zeigen, dass die Relation transitiv, reflexiv und symmetrisch ist.
Und dann stimmt der beweis?

22.04.2012, 13:43

SusiQuad

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis Polynome mit stetigen Fkt. C -> C identifizieren

Zitat:

nur noch zeigen, dass die Relation ...

Leider Nein. - Dann würde die Aussage für jeden Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ gelten.

Z.Zg. ist noch, dass $\begin{eqnarray*} [0] \in \mathbb C [X]_\slash_{\sim}<br /> \end{eqnarray*}$ einelementig ist, d.h. zwingend $\begin{eqnarray*} a_i =0 \end{eqnarray*}$ nach sich zieht, wenn
$\begin{eqnarray*} a_0 + a_1\,X + \ldots + a_n\,X^n = 0\quad\forall~X \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ gegeben ist.

Einfaches Bsp. wo diese Richtung NICHT gilt, die Umkehrung jedoch immer ...
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ ... hat 2 Elemente.

Es gibt genau 4 Abbildungen $\begin{eqnarray*} f\colon\mathbb Z_2 \to \mathbb Z_2 ~,~ X \mapsto f(X) \end{eqnarray*}$
(wenn man Funktionen danach unterscheidet, dass sie versch. Funktionswerte haben) und die sind
Polynome: $\begin{eqnarray*} \{0,1,X,X+1\} \subset K[X] \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} K[X] \end{eqnarray*}$ selber (Unterscheidung nach Koeff.) hat unendlich viele.

So ist dort $\begin{eqnarray*} X^3+X^2+X+1 ~{\color{red}=}~ X+1\quad\forall~X \in \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ .
Jedoch gilt in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2[X] \end{eqnarray*}$ ... $\begin{eqnarray*} X^3+X^2+X+1 ~{\color{red}\not=} ~X+1 \end{eqnarray*}$
Stichwort: endl. Char.

Andere Stichworte hatte ich im Beitrag gegeben. Es muss an $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ liegen ...

22.04.2012, 15:22

Aja

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis Polynome mit stetigen Fkt. C -> C identifizieren
hi, ich hab im moment so ziemlich die gleich Aufgabe und auch so meine Problem damit
, ich bin mir nicht sicher ob ich dich ganz richtig verstanden habe, aber kommst dann hin wenn ich happy12 obigen Beweis folgendermaßen ergänze ?

Angenommen f(t)=0 für alle $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} f(t)=a_{n}*t^n+a_{n-1}*t^{n-1}+...+a_{0} \end{eqnarray*}$ .
Setze t=0 um zu folgern, dass $\begin{eqnarray*} a_{0}=0 \end{eqnarray*}$ ist. Dann folgt $\begin{eqnarray*} f(t)=t*(a_{n}*t^{n-1}+...+a_{1})=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ , und daraus folgt $\begin{eqnarray*} h(t)=a_{n}*t^{n-1}+...+a_{1}=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb C/\left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} h(t):\mathbb C-> \mathbb C \end{eqnarray*}$ stetig ist, folgt
$\begin{eqnarray*} h(0)=\lim_{t \to 0} h(t) =0 \end{eqnarray*}$
und damit folgt für $\begin{eqnarray*} h(t)=(a_{n}*t^{n-1}+...+a_{1}) \end{eqnarray*}$ dass $\begin{eqnarray*} a_{1}=h(0)=0 \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} 0=f(t)=a_{n}*t^{n}+a_{n-1}*t^{n-1}+...+a_{2}*t^{2}=t^{2}*(a_{n}*t^{n-2}+...+a_{2}) \end{eqnarray*}$

und dann fortfahren, und somit dann auch $\begin{eqnarray*} a_{2}=...=a_{n}=0 \end{eqnarray*}$

22.04.2012, 17:37

SusiQuad

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis Polynome mit stetigen Fkt. C -> C identifizieren
@Aja
Prinzipiell ok.
Was hälst Du von der ff. Idee um dem $\begin{eqnarray*} X=t=0 \end{eqnarray*}$ aus dem Weg zu gehen ...

Nehme an $\begin{eqnarray*} a_n \not= 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |X| \gg 0 \end{eqnarray*}$ , dann

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{llll}{\color{red}0} &= a_0 + a_1\,X + \ldots + a_n\,X^n\quad &|~\colon a_n\,X^n \\\\&= 1 + \dfrac{a_{n-1}}{a_n}\,\dfrac{1}{X} + \ldots + \dfrac{a_0}{a_n}\,\dfrac{1}{X^n}&\, \xrightarrow{|X| \longrightarrow +\infty} ~1 + 0 = {\color{red}1}<br /> \end{array} \end{eqnarray*}$

... mit Widerspruch (iterativ) $\begin{eqnarray*} \forall n \end{eqnarray*}$

22.04.2012, 17:44

happy12

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis Polynome mit stetigen Fkt. C -> C identifizieren
Vielen Dank für all die Hilfe!

23.04.2012, 04:07

lp-raum

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man die (auch sonst sehr nützliche und sehr bekannte) Aussage kennt, dass sich ein Polynom $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ immer als $\begin{eqnarray*} (x-a)g(x) \end{eqnarray*}$ für ein Polynom $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ schreiben lässt, wenn a eine Nullstelle von f ist, kann man sich auch Stetigkeitsargumente sparen, dann ist gleich klar, dass ein Polynom nur endlich viele Nullstellen haben kann.

23.04.2012, 04:23

lp-raum

Auf diesen Beitrag antworten »

Ergänzung: Ich meine natürlich ein Polynom, das nicht das Nullpolynom ist.

Neue Frage »

Antworten »

Beweis Polynome mit stetigen Fkt. C -> C identifizieren

Verwandte Themen