Kompaktheit

21.04.2012, 17:25

ganzruhig

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Kompaktheit

Guten Abend!

Ich würde gerne diese Aussage nachvollziehen können:

"Das Urbild einer kompakten Menge unter einer stetigen Abbildung ist nicht notwendig kompakt."

Folgendes weiß ich bisher:

1)Seien X, Y metrische räume und K sei eine kompakte teilmenge von X so ist bei f: X->Y stetig, f(K) eine kompakte teilmenge von Y.
2)Eine menge ist genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.
Und zu guter letzt
3)Seien X, Y metrische räume und sei f: X->Y stetig, ist Bild ,also z.B. A "teilmenge" Y abgeschlossen so ist f^-1(A) auch abgeschlossen.

Wenn ich alles zusammenfasse, muss ich ein Beispiel finden können, sodass auch wenn Bild einer stetigen Abbildung kompakt ist, also abgeschlossen und begränzt, gibt es so eine funktion f, mit f^-1(Bild) = nicht mehr kompakt, bzw nicht abgeschlossen oder nicht begränzt. wegen 3) gibt es nur noch die option "nicht begrenzt".

kann mir jemand mit so einem beispiel bitte helfen?

21.04.2012, 17:55

Gast11022013

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RE: Kompaktheit
Ich bin mir nicht sicher, ob ich Deine Frage richtig verstanden habe, aber wenn es Dir um ein Beispiel geht, bei dem das Urbild einer kompakten Menge unter einer stetigen Abbildung nicht kompakt ist, so schlage ich folgendes Beispiel vor:

$\begin{eqnarray*} \sin: \mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$

Das ist eine stetige Abbildung, $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist metrischer Raum (ich meine die euklidische Metrik).

Betrachte im Bildraum $\begin{eqnarray*} I:=[-1,1]\subseteq\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen und beschränkt, also kompakt (Heine-Borel).

Das Urbild besteht aus den gesamten reellen Zahlen, die nicht kompakt sind.

21.04.2012, 18:06

ganzruhig

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so einfach -.-

Vielen Dank Gott

Gott

Ich habe schon angefangen stetige zusammengesetzte funktionen zu basteln um dann bei umkehrung dieser auf irgendwelche widersprüche zu treffen, dabei war es so leicht!

21.04.2012, 18:29

ganzruhig

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Dennis, wegen deinem Beispiel

Seien X und Y metrische Räume, f : X -> Y eine stetige Abbildung und A teilmenge Y in Y
abgeschlossen. Zeigen Sie, dass dann auch f^-1(A) in X abgeschlossen ist

Du hast doch mir grade gezeigt, dass das nicht immer stimmt. Die verlangen es aber zu zeigen.
Ist das weil du ein Beispiel mit R genommen hast?

21.04.2012, 20:03

Gast11022013

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Da ging es doch darum, daß das Urbild kompakter Mengen nicht notwendig kompakt ist.

Jetzt geht es doch um die Urbilder abgeschlossener Mengen - zu zeigen ist doch, daß diese ebenfalls abgeschlossen sind.

Das ist doch etwas Anderes.

Für den Beweis nutze folgende zwei Sätze:

I. Es seien $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ metrische Räume. $\begin{eqnarray*} f\colon, X\to Y \end{eqnarray*}$ ist genau dann stetig im Punkt $\begin{eqnarray*} a\in X \end{eqnarray*}$ , wenn es zu jeder Umgebng $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$ eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(U)\subseteq V \end{eqnarray*}$ gibt.

II. $\begin{eqnarray*} f\colon X\to Y \end{eqnarray*}$ ist genau dann stetig auf ganz $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , wenn eine der folgenden gleichwertigen Bedingungen erfüllt ist:

(i) Das Urbild $\begin{eqnarray*} f^{-1}(V) \end{eqnarray*}$ jeder offenen Menge $\begin{eqnarray*} V\subseteq Y \end{eqnarray*}$ ist offen in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .

(ii) Das Urbild $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ jeder abgeschlossenen Menge $\begin{eqnarray*} A\subseteq Y \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .

Damit geht der Beweis relativ schnell.

Oder Du kennst sowieso die allgemeineren Stetigkeitsdefinitionen bei topologischen Räumen.

21.04.2012, 20:45

ganzruhig

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Zitat:

Original von Dennis2010
Da ging es doch darum, daß das Urbild kompakter Mengen nicht notwendig kompakt ist.

Jetzt geht es doch um die Urbilder abgeschlossener Mengen - zu zeigen ist doch, daß diese ebenfalls abgeschlossen sind.

Das ist doch etwas Anderes.

Ne, guck, dein I von -1 bis 1 ist abgeschlossen, korrekt? Aber sein urbild eben nicht..

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21.04.2012, 21:09

ganzruhig

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Alles schön und gut Dennis, wenn die mich bitten zu zeigen dass urbild abgeschlossen ist, wirds wohl stimmen. Mir gehts grade um was anderes, nämlich dein Beispiel!

Was habe ich denn jetzt missverstanden?
Du selbst schreibst I = [-1,1] ist abgeschlossen und beschränkt, keine einwände! Dabei ist I ja das Bild, etwa nicht? Nun kommt das entscheidene: Deine worte "das urbild von I ist nicht kompakt" auch keine einwände! Doch wenn ich zurück denke, nach Heine-Borel, muss es also entweder nicht abgschlossen sein oder nicht beschränkt, vllt auch beides. Was trifft denn in unserer situation jetzt ein? Da Urbild ganzes R ist, ist es mir klar, dass es nicht beschränkt ist und eignetlich genauso wenig abgeschlossen, also nicht kompakt.

Nun muss ich aber zeigen ist Bild abgeschlossen so ist das Urbild auch, dabei wie gesagt, hast du ein gegenbeispiel gepostet

EDIT, ja ok ich habe etwas weiter nachgedacht, und sehe, dass es doch keine widersprüche gibt, nämlich die arcsin funktion wird ja unser I [-1,1] auf [-Phi/2,Phi/2] abbilden und das ist abgeschlossen

21.04.2012, 21:32

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist offen UND abgeschlossen!

Mit arcsin oder so hat das hier nix zu tun.

Und das mit der Kompaktheit hatte damit zu tun, daß die reellen Zahlen unbeschränkt sind.

21.04.2012, 21:57

ganzruhig

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das wurde uns noch nicht gesagt, woher kommt das? ich kenne uneingetliche intervalle wie ]-unendlich, a[ , oder sowohl nicht offen als auch nicht abgeschlossen [a,b[ , aber R müsste nach defenition eine offene menge sein, denn es ist ein metrischer raum.

Nach weiteren edits nur noch mehr fragen..
1) warum ist R jetzt sowohl offen als auch abgeschlossen, offen ist eine menge, genau dann wenn sie umgebung aller ihre punkte ist, ok erfühlt. Abgeschlossen ist R genau dann wenn komplement offen ist, also ???\R muss offen sein, das wäre eingetlich erfüllt :-)

2) warum hat ercsin nichts damit zu tun?

3) Und wieso hatte unbeschränkheit von R, nicht mit kompakheit zu tun? Heine-Borel, würde sich hier anwenden lassen. Oder sollen wir die definiton von kompaktheit benutzen, das mit endlicher Überdeckung?

21.04.2012, 22:08

Gast11022013

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In topologischen Räumen sind immer die Grundmenge und die leere Menge sowohl offen als abgeschlossen.

21.04.2012, 22:13

ganzruhig

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ok, wir arbeiten nach forster, und da steht halt, dass leere menge und X offen sind, vgl. seite 7 Satz 3 (ana 2 auflage 9)

never mind, beantworte dann 2 andere Fragen bitte

21.04.2012, 22:15

Gast11022013

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Naja, wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ offen sind, folgt daraus folgt doch, daß sie auch abgeschlossen sind.

Daß $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ offen und abgeschlossen ist, hat mit der Definition einer Topologie zu tun!

Nach Heine-Borel ist eine Teilmenge der reellen Zahlen doch genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. Nun ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ zwar abgeschlossen, aber nicht unbeschränkt, also nicht kompakt.

21.04.2012, 22:18

ganzruhig

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Big Laugh

? wie das denn bitte? Lese ich alles von vorne..

me: "wir arbeiten nach forster, im buch steht ist X ein metrischer raum, so ist leere menge und X selbst offen."
du:"naja, daraus folgt doch, dass sie auch abgeschlossen sind"

ALSO, kann ich sagen, ja U ist offene teil menge von X, dann ist U auch abgeschlossen?? wäre ja Quatsch²
ich verstehe deine begründung halt nicht, eingentlich gabst du auch keine..

21.04.2012, 22:21

Gast11022013

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Ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ offen, so ist $\begin{eqnarray*} X\setminus X=\emptyset \end{eqnarray*}$ abgeschlossen.

Ist $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ offen, ist $\begin{eqnarray*} X\setminus\emptyset=X \end{eqnarray*}$ abgeschlossen.

(Komplemente offener Mengen sind abgeschlossen, das gilt auch bei der allgemeinen Topologie-Definition.)

21.04.2012, 22:31

ganzruhig

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Alles klar Dennis, nun habe ich alles kapiert, danke dir Gott

Gott

ich fasse mal die gesammte argumentation dann kurz zusammen, überprüf sie bitte.

Betrachten wir die Funktion sin: R->R so folgt, dass die Bildmenge I = [-1,1] ist diese ist beschränkt und abgeschlossen, somit nach Heine-Borel kompakt. Nun betrachten wir das Urbild, es ist ganzes R ist das ist abgeschlossen, aber nicht beschränkt somit auch nicht kompakt. Mir ist somit aufgefallen, dass es SEHR wichtig ist nicht die Umkehrabbildung zu betrachten, weil f_umk = arcsin und arcsin([-1,1]) wäre auch bloß ein abgeschlossenes intervall [-phi/2, phi/2] welches kompakt wäre.

21.04.2012, 22:32

Gast11022013

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Freude

Dann kannst Du ja jetzt beweisen, daß das Urbild einer abgeschlossenen Menge ebenfalls abgeschlossen ist.

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