Hochpunkt ohne 2. Ableitung bestätigen

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Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
Hochpunkt ohne 2. Ableitung bestätigen
Meine Frage:
Hey Leute,
bin mir bei folgender Aufgabe nicht sicher:



W=N
D=R+

Ich soll die Extremstellen in Abhängigkeit vom Parameter m bestimmen
Das habe ich gemacht und kam auf





Es ist eine prakt. Aufgabe, wobei m für Fahrzeuglänge, x für Geschwindigkeit und f Anzahl der Fahrzeuge, die an einer Straße pro Stunde passieren können.

Ich dachte mir, dass es für m>0 eine Extremstelle gibt, für m=0 und m<0 gibt es keine Extremstellen wegen der prakt. Bedeutung von m.. (m steht für Fahrzeuglänge)

Nun soll ich ohne Benutzung der 2. Ableitung begründen, welche der Extremstellen zum lok. Hochpunkt gehört..
Aber wie?

Meine Ideen:
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm...

es kann gut sein, dass ich die Aufgabenstellung missverstanden habe, aber hier trotzdem mein Beitrag:

Es gibt zwei Möglichkeiten, eine Extremstelle zu finden.
Bei der Möglichkeit ohne die nöchte Ableitung musst du das Verhalten des Graphen kurz vor und kurz nach der Extremstelle untersuchen oder eher "ertasten".

Das heißt, du nimmst dir zwei lokale Stellen um die Stelle :

zb:





Und berechnest den Wert an diesen Stellen.


Sind beide kleiner als der Wert der Extremstelle, so ist das ein Hochpunkt. (Denn bei einem Hochpunkt hat mein einen "Hügel", dessen umliegende Y-Werte immer kleiner sind, als der Extremwert selbst).


Was mich bei deiner Aufgabe stutzig macht ist, dass ein lokaler Hochpunkt nur im negativen Bereich zu finden ist:

Graph (bei 5m langen "Autos" Big Laugh ):






Deswegen wollte ich für mein Verständnis nochmal fragen, was das für eine Bedeutung hat? verwirrt


Gruß,
thechus
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, also wenn ich den Graphen in meinen Rechner eintippe, sieht er ganz anders aus und der HP liegt auch im positiven Bereich.

Das war eine Klausuraufgabe und ich versuche sie gerade zu berichtigen.. Und ich hatte eigentlich geschrieben, dass es x2 sein muss, weil es positiv ist und x ja nur für R+ definiert ist.

Mein Lehrer hat aber da ran geschrieben, dass es falsch ist..
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von thechus
Es gibt zwei Möglichkeiten, eine Extremstelle zu finden.
Bei der Möglichkeit ohne die nöchte Ableitung musst du das Verhalten des Graphen kurz vor und kurz nach der Extremstelle untersuchen oder eher "ertasten".

Das ist ziemlich unmathematisch.
Die zweite Möglichkeit wäre die, die Funktion auf Monotonie zu untersuchen.

Zitat:



Das wäre ein Fixpunkt.

Zitat:





Das sieht nun irgendwie falsch aus...



Zum Graphen: Da hat thechus die Klammern vergessen.
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Ich stelle am besten die Frage nochmal vollständig ^^

Wegen einer Baustelle steht auf einer Autobahn nur ein Fahrstreifen zur Verfügung. Im Übergangsbereich von zwei Spuren auf eine Spur ist die Anzahl der Fahrzeuge, die diese Stelle pro Stunde passieren können, abhängig von der Fahrzeuglänge und der Geschwindigkeit.

f: Anzahl der Fahrzeuge pro Stunde
x: Geschwindigkeit m/s (muss also später noch in km/h umgerechnet werden)
m: Fahrzeuglänge

Wertemenge (y) = alle natürlichen Zahlen, da ja nicht z.b 4,567 Autos passieren können
Definitionsmenge (x) = alle positiven reellen Zahlen

Wenn ich nun den Graphen einzeichnen lasse, z.b für m=5 geht er sehr steil hoch bis es den HP erreicht und nähert sich danach unendlich der x-Achse (je mehr x-> unendlich strebt)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Die Wertemenge als zu wählen, ist mathematisch nicht sehr sinnvoll. Dann hättest du ziemliche Probleme, überhaupt die Funktion definieren zu können.

Zur Frage: Du kannst wie gesagt auch über Monotonie bestimmen, ob die kritische Stelle (Nullstelle der Ableitung) ein Maximum ist. Dass der positive Wert deine Maximalstelle ist, kannst du ja nur vermuten, da es der einzige Kandidat ist. Es könnte aber genauso gut ein Minimum oder ein Wendepunkt vorliegen.
 
 
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht, wieso das N nicht sinnvoll ist?

Wieso ist x2 nur der einzige Kandidat? Es gibt ja noch eine mögl. negative Extremstelle..

Und wie meinst du das mit der Monotonie?
Ich weiß nur, dass wenn f'(x)>0 der Graph streng monoton steigend ist..
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn nur natürliche Werte annehmen dürfte, dann dürfte man die meisten Zahlen des Definitionsbereiches gar nicht einsetzen.

Mit dem Definitionsbereich kann es ja eben keine negativen Extremstellen geben.

Zur Monotonie:
Sei x Nullstelle von f'.
Wenn dann f' auf einem Intervall [a,x] nichtnegativ und auf einem Intervall [x,b] nichtpositiv ist, ist x Maximalstelle.
Analog für Minima. Bei Wendestellen hat f' auf beiden Seiten dasselbe Vorzeichen.
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Achso das meintest du ^^
Ja man müsste die Zahlen des Definitionsbereiches runden.
Und da ja D=R+ ist, hatte ich gedacht, dass von diesen beiden mögl. Extremstellen, nur das positive lok. Hochpunkt sein kann.. (und da liegt er ja auch wirklich)

Also suche ich mir einen Punkt vor der mögl. Extremstelle und betrachte die Monotonie in diesem Intervall und dann nocheinmal mit einem Punkt nach der mögl. Extremstelle..
Mir fällt gerade nur nicht ein, wie ich das untersuche.. Also wie bringe ich das mit dem Intervall da mit rein?
Ansonsten muss ja erstmal f' >0 und dann f' <0 sein.. Muss ich einfach ein paar Werte da eingeben?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Du suchst dir keinen Punkt. Du betrachtest einfach das Vorzeichen von f' vor und nach der kritischen Stelle, ohne dabei konkrete Werte einzusetzen.
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Wie soll ich das denn betrachten? Ich verstehe nicht, wie du das meinst..
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, man darf schon einen Wert einsetzen, aber danach argumentiert man eher über die Stetigkeit. Nimm dir einen Wert zwischen der kritischen Stelle und a) der ersten Definitionslücke/0 und b) der nächsten Definitionslücke und überprüfe, welches Vorzeichen die Ableitung dort hat.
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du denn jetzt auf Definitionslücken?
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab einfach einen Wert, der kleiner als meine mögl. Extremstelle (z.b 4) genommen.
Das Ergebnis ist positiv.
Dann habe ich es mit 8 gemacht, das Ergebnis ist negativ.
Also liegt dort mein Hochpunkt (die Steigung ist erst positiv und danach negativ)

Analog dazu:
Für -8 ist das Ergebnis negativ für -4 positiv. Die Steigung wird erst negativ dann positiv, also liegt dort ein TP
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ist m denn inzwischen fest? Woher weißt du, dass 8 hinter dem kritischen Punkt liegt?

Und das mit -8 und -4 kannst du ignorieren, die haben nämlich gar keine Funktionswerte, wenn der Definitionsbereich so stimmt.
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Ahso ups.. Ich hab einfach irgendein m genommen..
Der kritische Punkt ist doch der HP oder? Und der ist ja bei 7,... Also ist doch 8 dahinter Big Laugh

Das mit -8 und -4 hatte ich nur gemacht, wegen dem TP, aber du hast Recht, die brauch ich ja nicht zu beachten.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Vorhin hattest du noch als Nullstelle der Ableitung angegeben...
Du kannst nicht davon ausgehen, dass das für alle m Maximalstelle ist, wenn du es nur für ein konkretes m nachgewiesen hast.
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Ach stimmt, das meinst du..
Jetzt hab ich bemerkt, dass ich die ganze Zeit bei der nächsten Aufgabe geschaut habe, wo wir schon ein m festgelegt haben..

Aber ich weiß immer noch nicht, wie ich das machen soll..
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm doch etwas wie [attach]24103[/attach]
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »

ja und dann?

Ich versteh das irgendwie vom Prinzip her nicht unglücklich
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Hatte ich doch erklärt. Zwischen zwei Extremstellen hat die Ableitung einer (stetig differenzierbaren) Funktion immer dasselbe Vorzeichen. Bestimme also das Vorzeichen irgendeines Wertes daraus und du weißt, ob die Funktion in dem Intervall monoton steigend oder fallend ist. Und wenn die Funktion erst steigt und hinter der kritischen Stelle wieder fällt, war das offenbar ein Maximum.
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Mit "irgendeinem Wert" meinst du jetzt einen Wert für m?

Also z.b einmal Wurzel(30*4)/2 und dann einmal dahinter Wurzel(31*4)/2 und davor Wurzel(29*4/2
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, irgendeinen Wert, der hinter oder vor der kritischen Stelle liegt. Den setzt du in die Ableitung ein und überprüfst das Vorzeichen.
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab jetzt einfach in die Ableitung für x

Wurzel(31*m)/2 eingesetzt und da ist das Vorzeichen negativ

Meintest du das so?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so!
Und für 29 statt 30 sollte da etwas positives herauskommen, also ist die Funktion vor der kritischen Stelle (aufgrund der Stetigkeit der Ableitung) monoton steigend und danach monoton fallend. Von daher hast du ein Maximum.
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Juhuu Big Laugh

Ja, hab ich so aufgeschrieben. Danke, dass du so geduldig mit mir warst ^^'
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