Ringe, Einheit, ÄK und ggT

21.04.2012, 18:03	PuyoPuyo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ringe, Einheit, ÄK und ggT Halli Hallo an Alle ^^ hab ne kurze Aufgabe zu lösen und mir fehlt ein guter formaler Ansatz für den Beweis folgender Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ und R der Ring $\begin{eqnarray} \left(\mathbb Z/n\mathbb Z,+,\right) \end{eqnarray}$ . a) Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} [a]\in R^{x}(= Einheit) \Leftrightarrow ggT(a,n)=1 \end{eqnarray}$ Also meine Gedanken: erstmal die Definitionen aufschreiben: 1) $\begin{eqnarray} \left(\mathbb Z/n\mathbb Z,+,\right)=\left\{ [0],[1],[2],...,[n-1]\right\} \end{eqnarray}$ ist die Menge der ÄK. 2) $\begin{eqnarray} R^{x}(= Einheit)=\left\{ x \in R\|\exists y \in R:xy=yx=1\right\} \end{eqnarray}$ 3) $\begin{eqnarray} ggT(a,n) \Rightarrow \exists x \in R : x\|a \wedge x\|n \end{eqnarray}$ So jz mal ein Beispiel für n=6: So haben wir für $\begin{eqnarray} R^{x}(= Einheit)= \left\{ [1],[5]\right\} \end{eqnarray}$ . Jetzt habe ich ein bel. Elem $\begin{eqnarray} [a]\in R^{x}(= Einheit) \end{eqnarray}$ aus dieser Menge genommen und muss nun prüfen ob ggT(a,n)=1 ist. Und dies gilt ja weil für alle Elem. $\begin{eqnarray} [a]\in R^{x}(= Einheit) \end{eqnarray}$ aus Def. 2) $\begin{eqnarray} \left\{ a \in R\|\exists b \in R:ab=ba=1\right\} \end{eqnarray}$ und der Def.3) $\begin{eqnarray} x\|a \wedge x\|n \Leftrightarrow \exists b,m\in R: a=xb \wedge n=xm \end{eqnarray}$ so gilt, dass $\begin{eqnarray} a=xb \Rightarrow aa^{-1}=xba^{-1} \Rightarrow 1=xba^{-1} \Rightarrow 1=x \end{eqnarray}$ folgt und ggT(a,n)=1 gilt Iwie sieht das für mich aber noch falsch aus xD kann mir da einer helfen? Danke
21.04.2012, 19:24	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ringe, Einheit, ÄK und ggT hallo puyopuyo, ich habe mir dazu folgendes überlegt: sei a eine einheit in diesem ring, dann gibt es ein b aus diesem ring mit ab=1, und das bedeutet, das es eine ganze zahl r gibt mit ab=rn+1, weil wir ja im restklassenring modulo n arbeiten. Wenn a und n nicht teilerfremd sind, kann dann die gleichung ab=r*n+1 überhaupt erfüllt sein ? Dann überleg mal weiter.... gruss ollie3
21.04.2012, 19:59	PuyoPuyo	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke ollie3 für deinen Tipp ^^ Also die Gleichung wäre meiner Meinung nicht erfüllt denn: Sind a und n nicht teilerfremd so gilt für die Gleichung ab=rn+1 rn mod n=0 und daraus ja auch ab mod n=0 folglich müssen a und b teilerfremd sein und deshalb aus der Def. der Teilerfremdheit gilt dann ja auch ggT(a,b)=1 Geht das so?
22.04.2012, 08:33	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo puyopuyo, oje, da hast du was durcheinandergebracht, du sollst hier beweisen, dass a und n teilerfremd sind, nicht a und b. Um die sache noch klarer zu machen, stellt man die gleichung um in ab-rn=1. Wenn a und n einen gemeinsamen teiler hätten, müssten ab und rn den gleichen gemeinsamen teiler haben, und kann dann die differenz gleich 1 sein? gruss ollie3
22.04.2012, 13:18	PuyoPuyo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi nochmal ^^ ich hab mich einfach vertippt, sollte eig a und n überall sein und nicht b ... also kann ich dann meine Argunmentation so stehen lassen?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »