Eigenvektor berechnen

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21.04.2012, 18:06	LeoRS	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektor berechnen Meine Frage: kann ich ein Eigenvektor z ausrechnen, wenn ich so eine Gleichung habe, bzw. wie geht das? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \times z = exp\left(\frac{2\pi i}{5} \right) \times z \end{eqnarray}$ ...je einfacher erklärt, desto besser (bin in der Oberstufe) Meine Ideen: ich habe versucht, die Gleichung nach z aufzulösen, aber weiter bin ich nicht gekommen...
22.04.2012, 13:44	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} det(A-\lambda E)=0 \Leftrightarrow \lambda ^5=1 \end{eqnarray}$ , also sind genau die 5. Einheitswurzeln komplexe Eigenwerte. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- $\begin{eqnarray} \zeta=exp(\frac {2\pi i} 5)=\sqrt [5] 1 \end{eqnarray}$ ist eine 5. Einheitswurzel , also $\begin{eqnarray} \zeta \in \mathbb C, \zeta ^5=1 \end{eqnarray}$ . Alle fünf 5. Einheitswurzeln sind Potenzen von $\begin{eqnarray} \zeta \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Az=\zeta z\Rightarrow A \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \\ e \end{pmatrix}=\zeta \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \\ e \end{pmatrix} \Rightarrow \zeta a =e, ... \end{eqnarray}$ Du musst $\begin{eqnarray} A \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \\ e \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ berechnen, um 5 Gleichungen für a bis e zu bekommen. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Anmerkung: Auch 1 ist ein Eigenwert, offensichtlich der einzige reelle Eigenwert, und für diesen lässt sich ein Eigenvektor besonders einfach berechnen.
30.04.2012, 08:18	LeoRS	Auf diesen Beitrag antworten »
all right, kann ich dann so machen?: 1. mit $\begin{eqnarray} det\left(A-\lambda\times E\right)=0 \end{eqnarray}$ die Eigenwerte berechnen 2. weiter mit $\begin{eqnarray} \left(A-\lambda_{i} E)\right)x_{i} =0 \end{eqnarray}$ 3. dann kann ich das mit dem Gaußschen Algorithmus lösen: $\begin{eqnarray} \left(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} -\lambda\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right) \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ a_{4} \\ a_{5} \end{pmatrix} = 0 <br /> <br /> \Rightarrow -\lambda\times a_{1} + a_{2} = 0 ;<br /> -\lambda\times a_{2} + a_{3} = 0;<br /> -\lambda\times a_{3} + a_{4} = 0;<br /> -\lambda\times a_{4} + a_{5} = 0;<br /> -\lambda\times a_{5} + a_{1} = 0;<br /> \end{eqnarray}$ Bei mir kommt am Ende dann was Falsches raus, nämlich dass alle a=0 sind, aber das muss nichts heißen.. Also löst man das prinzipiell so?
01.05.2012, 11:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Einheitswurzeln $\begin{eqnarray} \zeta ^5=1\Rightarrow \zeta=e^{\frac {2\pi i} 5} \end{eqnarray}$ oder die Potenzen davon, das sind $\begin{eqnarray} \zeta^2=e^{\frac {4\pi i} 5}, \zeta^3=e^{\frac {6\pi i} 5},\zeta^4=e^{\frac {8\pi i} 5},\zeta^5=e^{\frac {10\pi i} 5}=e^{2\pi i}=1 \end{eqnarray}$ 2. Eigenvektoren zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Az=\lambda z\Rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \\ e \end{pmatrix}= \lambda \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \\ e \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} e \\ a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix}= \lambda \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \\ e \end{pmatrix}\Rightarrow e=\lambda a, a=\lambda b, b=\lambda c, c=\lambda d, d=\lambda e \end{eqnarray}$ 3. Das sind 5 Gleichungen für die Komponenten des Eigenvektors. Wenn du jetzt für $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ eine Einheitswurzel einsetzt, kannst du diese Gleichungen lösen. Beispiel $\begin{eqnarray} \lambda =1 \Rightarrow e=a, a=b, b=c, c=d, d=e\Rightarrow a=b=c=d=e \end{eqnarray}$ , also ist z.B. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert 1. Beispiel $\begin{eqnarray} \lambda =\zeta \Rightarrow e=\zeta a, a=\zeta b, b=\zeta c, c=\zeta d, d=\zeta e \end{eqnarray}$ , für $\begin{eqnarray} a=1 \end{eqnarray}$ ist z.B. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ \zeta^4 \\ \zeta^3 \\ \zeta^2 \\ \zeta \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \zeta \end{eqnarray}$ . 4. Eigenvektoren zu den Eigenwerten $\begin{eqnarray} \zeta^2, \zeta^3, \zeta^4 \end{eqnarray}$ darfst du berechnen.
02.05.2012, 20:19	LeoRS	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschööön Elvis! Jetzt hab sogar ich es verstanden! Stimmt das dann auch? $\begin{eqnarray} \left(1, \zeta^{3} , \zeta , \zeta^{4} , \zeta^{2} \right) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \lambda_{2} = \zeta^{2} , a=1 \end{eqnarray}$ und so weiter? Noch was. Im Buch, das ich hab, steht dann $\begin{eqnarray} \left(1, \zeta , \zeta^{2} , \zeta^{3} , \zeta^{4} \right) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \lambda_{1} = \zeta , a=1 \end{eqnarray}$ , aber die Rechnung von Dir stimmt doch.
03.05.2012, 19:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Ergebnis für $\begin{eqnarray} \lambda=\zeta^2 \end{eqnarray}$ halte ich für genau so richtig wie meine Ergebnisse für $\begin{eqnarray} \lambda=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda=\zeta \end{eqnarray}$ . Wir haben's verstanden, Gratulation. Das Buch muss sich irren, oder ich habe mich verrechnet (das letztere glaube ich erst, wenn ich einen Beweis dafür sehe). Gibt's im Buch eine verständliche Berechnung ?
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03.05.2012, 19:32	LeoRS	Auf diesen Beitrag antworten »
nein, im Buch gibt es überhaupt keine Berechnung, da stehen nur die Ergebnisse...
04.05.2012, 16:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben richtig gerechnet, was mich aber ein bißchen stutzig macht, ist die Matrix A. In Deinem zweiten Beitrag sieht sie anders aus als in Deinem ersten Beitrag. Ich glaube, das Ergebnis im Buch könnte zu der zweiten Matrix passen, denn es ist dann z.B. $\begin{eqnarray} \lambda a=b \end{eqnarray}$
04.05.2012, 17:35	LeoRS	Auf diesen Beitrag antworten »
ach soo, ich hab´s schon. Es stimmt alles. Diese Matrix A wird noch ein paar Mal verändert, durch zyklische Permutation, die Einser stehen dann auf anderen Stellen und damit gibt es noch viele verschiedene Eigenvektoren. Ich muss nur alles ordentlich machen. Und dann muss ich das zu jeder Matrix berechnen. Aber das Prinzip hab ich kapiert, das ist das Wichtigste.

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