Cauchy-Riemann-DGLS

21.04.2012, 19:11

Kimi_R

Cauchy-Riemann-DGLS

Hallo,

ich hätte eine Frage zu den Cauchy-Riemann-DGLS und möchte mich gleich im Voraus entschuldigen, falls ich hier im falschen Teilforum bin. Die Frage sollte aber zur Analysis passen

Zur Aufgabe: Wir haben 2 Holomorphe Funktionen:
$\begin{eqnarray*} f=u_1+i*v_1:=(u_1,v_1), g=u_2+i*v_2:=(u_2,v_2) \end{eqnarray*}$

Wir sollen durch direkte Rechnung(!) zeigen, dass dann auch f*g die Cauchy-Riemann Diferentialgleichungen erfüllen

Man rechnet nach, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} f*g=(u_1*u_2-v_1*v_2,u_1*v_2+u_2*v_1) \end{eqnarray*}$

Die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen sind für f=(u,v) gegeben durch:
$\begin{eqnarray*} \partial_xu(z)=\partial_yv(z), \ \partial_yu(z)=- \partial_xv(z) \end{eqnarray*}$

Was ich also zeigen/nachrechnen müsste (aber nicht sehe, wie das gehen soll):
$\begin{eqnarray*} \partial_x(u_1*u_2-v_1*v_2)(z)=\partial_y(u_1*v_2+u_2*v_1)(z), \ \partial_y(u_1*u_2-v_1*v_2)(z)=-\partial_x(u_1*v_2+u_2*v_1)(z) \end{eqnarray*}$

Mir sind partielle Ableitungen durchaus geläufig, aber hier steh ich grad völlig auf dem Schlauch

22.04.2012, 12:51

Kimi_R

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Keiner eine Idee?

22.04.2012, 12:54

IfindU

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Du musst die Ableitung "reinziehen", also die Produktregel anwenden.

22.04.2012, 13:13

Kimi_R

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Zitat:

Original von IfindU
Du musst die Ableitung "reinziehen", also die Produktregel anwenden.

Interessant, probiert hatte ich das gestern Abend schon mal. Aber so wie ich das gemacht hab, kommt da nichts "produktives heraus" verwirrt

Sah dann bei der ersten DGL so aus:
Linke Seite:
$\begin{eqnarray*} \partial_x(u_1*u_2-v_1*v_2)(z)= ((\partial_xu_1)*u_2)(z)+(u_1*\partial_xu_2)(z)-((\partial_xv_1)*v_2)(z)-(v_1*\partial_xv_2)(z)<br /> \end{eqnarray*}$

Rechte Seite:
$\begin{eqnarray*} \partial_y(u_1*v_2+u_2*v_1)(z)= ((\partial_yu_1)*v_2)(z)+(u_1*\partial_yv_2)(z)+((\partial_yu_2)*v_1)(z)+(u<br /> _2*\partial_yv_1)(z) \end{eqnarray*}$

Also soweit war ich schon mal. Aber hier seh ich nicht, wie die beiden Ausdrücke gleich sein sollen.

22.04.2012, 13:16

IfindU

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Das müssen sie im allgemeinen auch nicht - aber du weißt, dass f und g holomorph sind. Das heißt, du kannst die Differentialgleichungen, die du von dort hast, hier einsetzen. Dann solltest du nach bisschen umsortieren sehen, dass sie gleich sind.

22.04.2012, 16:26

Kimi_R

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So funktionierts natürlich, hätte ich auch selber drauf kommen können. Vielen Dank für die Hilfe.
Das selbe sollen wir bei fog noch machen. Hier stimmt leider wieder etwas nicht.

Entweder liegt mein Fehler hier:
$\begin{eqnarray*} fog=(u_1+i*v_1)(u_2+i*v_2)=u_1(u_2+i*v_2)+i*v_1(u_2+i*v_2)=(u_1(u_2+i*v_2),<br /> v_1(u_2+i*v_2)) \end{eqnarray*}$

Oder beim Ableiten. Denn da kommt raus:
$\begin{eqnarray*} \partial_xRe(fog)=\partial_x(u_1(u_2+i*v_2))= (\partial_xu1)(u_2+i*v_2)*(\partial_xu_2+i*\partial_x*v_2)= (\partial_yv_1)(u_2+i*v_2)*(\partial_yv_2-i*\partial_y*u_2) \end{eqnarray*}$
wobei ich beim letzten "=" die C-R-DGL für f und g ausnutze.

$\begin{eqnarray*} \partial_yIm(fog)=\partial_y(v_1(u_2+i*v_2)= (\partial_yv_1)(u_2+i*v_2)*(\partial_yu_2+i*\partial_y*v_2) \end{eqnarray*}$

Der vordere Teil stimmt also überein, ganz hinten fehlt aber der Faktor i verwirrt

22.04.2012, 16:35

IfindU

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Wenn du beim \partial_x Re die letzte Gleichung weglässt, steht es doch schon praktisch da.

Edit: Sry, verguckt. Das eine war eine Ableitung nach y, das andere x.

Ich denke du hast die DGL falsch eingesetzt.

$\begin{eqnarray*} \partial_x u_2 = \partial_y v_2 \end{eqnarray*}$

Ich denke dich hat auch die 2 beim Index verwirrt, die aber eine andere Funktion kennzeichnet, und nichts mit der DGL zu tun hat.

Edit: So, ich denke ich habs nun wirklich.
Du wendest eine Kettenregel zu wenig an. Da du u statt u(z) schreibst, siehst du nicht, dass wenn du u(x+iy) nach y ableitest, noch ein i reinbekommst.

22.04.2012, 16:58

Kimi_R

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Seh meinen Fehler leider noch nicht. Also da f und g die DGL erfüllen wissen wir ja:
Für f gilt:
$\begin{eqnarray*} \partial_xu_1= \partial_yv_1, \partial_yu_1=-\partial_xv_1 \end{eqnarray*}$
Und für g:

$\begin{eqnarray*} \partial_xu_2=\partial_yv_2, \partial_yu_2=-\partial_xv_2 \end{eqnarray*}$

Das hab ich glaub schon richtig eingesetzt verwirrt

Edit: Deinen letzten Edit zu spät gesehen. Schau ich mir gleich an. Danke nochmal für die ganze Hilfe

Edit2: Hast Recht. An der "schlampigen" Schreibweise lags. Den Fehler hätte ich im Leben nicht selber gefunden

22.04.2012, 17:28

IfindU

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Ich hab ihn auch eine ganze Weile gesucht. Am Besten den Fehler nie wieder machen, dann muss man ihn nicht erst suchen Augenzwinkern

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