Gleichheit mit charakteristischer Funktion zu zeigen

21.04.2012, 19:31

pablosen

Gleichheit mit charakteristischer Funktion zu zeigen

Liebe Mathegemeinde

Ich brauche bei folgender Aufgabe eure Hilfe:

Es sei $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ein Wahrscheinlichkeitsmass auf $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R}, B) \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ bezeichne die Borel-Sigma-Algebra auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und ausserdem gelte $\begin{eqnarray*} \int |x| \mu(dx) < \infty \end{eqnarray*}$ . Zeige:

$\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ Standardnormalverteilung $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ Es gilt $\begin{eqnarray*} \int f'(x) \mu(dx) = \int xf(x) \mu(dx) \end{eqnarray*}$ für jede beschränkte Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit stetiger Ableitung.

Hinweis: Betrachte $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} \hat \mu(t) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \hat \mu := \end{eqnarray*}$ charakteristische Funktion von $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$

Ich habe mal raus, dass

$\begin{eqnarray*} \hat \mu(t) = \int e^{itx} \mu(dx) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \hat \mu '(t) = i*\int x*e^{itx} \mu(dx) \end{eqnarray*}$ .

Ich habe auch die Standardnormalverteilung mit der Varianz $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ versucht, einzusetzen gemäss Wikipedia:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/math/d/9/8/d983658105ebda27d863e785f4bd471f.png

Ich bekomme aber dabei nichts Brauchbares raus.

Hat vielleicht bitte jemand einen Tipp, wie da vorzugehen ist?

Grüsse

22.04.2012, 18:18

gonnabphd

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Zitat:

Es gilt $\begin{eqnarray*} \int f'(x) \mu(dx) = \int xf(x) \mu(dx) \end{eqnarray*}$ für jede beschränkte Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit stetiger Ableitung.

Damit bekommst du
$\begin{eqnarray*} it\, \hat\mu(t) = \int it e^{itx} \, \mu(dx) = \int xe^{itx}\, \mu(dx) =- i \int ix e^{itx}\, \mu(dx) \end{eqnarray*}$ .

Tipp: Vergleiche nun die rechte Seite mit deiner Ableitung von $\begin{eqnarray*} \hat \mu(t) \end{eqnarray*}$ , berechne mit der DGL, welche du dadurch erhälst $\begin{eqnarray*} \hat\mu(t) \end{eqnarray*}$ und benutze dann die Eindeutigkeit der char. Funktion einer Verteilung.

Grüsse smile

22.04.2012, 20:06

pablosen

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Danke.

Ich kriege mit der DGL $\begin{eqnarray*} t*\hat \mu(t) = - \mu'(t) \end{eqnarray*}$ dann die Funktion

$\begin{eqnarray*} \hat\mu(t)=e^{-\frac{1}{2}*t^2}*e^{-C} \end{eqnarray*}$ mit einer Konstanten C .

Dieses Ergebnis stimmt doch sehr zuversichtlich. Aber wo ist die Varianz geblieben (und der andere Paramter, den wir in der Vorlesung "Parameter" nannten) und wieso ist nun

$\begin{eqnarray*} \hat\mu(t)=e^{-\frac{1}{2}*t^2}*e^{-C}= \int e^{itx} \mu(dx) \end{eqnarray*}$ ?

Wie kann ich das nach $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ auflösen, wo doch $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \hat \mu \end{eqnarray*}$ die Standardnormalverteilung sein sollte?

Grüsse

23.04.2012, 00:30

gonnabphd

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \hat\mu(t)=e^{-\frac{1}{2}*t^2}*e^{-C} \end{eqnarray*}$ mit einer Konstanten C .

Wenn du noch $\begin{eqnarray*} \hat\mu(0) = 1 \end{eqnarray*}$ verwendest, dann bekommst du sogar $\begin{eqnarray*} \hat \mu(t) = e^{-\frac{t^2}2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

[...] und wieso ist nun
$\begin{eqnarray*} \hat\mu(t)=e^{-\frac{1}{2}*t^2}*e^{-C}= \int e^{itx} \mu(dx) \end{eqnarray*}$ ?

Na, das hast du ja gerade gezeigt! smile

Das folgt eben aus der Voraussetzung

Zitat:

Wie kann ich das nach $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ auflösen, wo doch $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \hat \mu \end{eqnarray*}$ die Standardnormalverteilung sein sollte?

Entweder du transformierst zurück, oder du zeigst, dass die Standard-Normalverteilung ebenfalls die char. Funktion $\begin{eqnarray*} \hat \mu(t) = e^{-\frac{t^2}2} \end{eqnarray*}$ besitzt und verwendest einen Eindeutigkeitssatz aus eurer Vorlesung (/deinem Buch).

Die Standard-Normalverteilung hat übrigens per definitionem Varianz 1 und Mittel 0 (deshalb "Standard-" im Gegensatz zu einer beliebigen Normalverteilung)

24.04.2012, 07:43

pablosen

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Danke. Ich glaube, es ist alles klar, sonst melde ich mich dann nochmals.

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