Bilder der Einheitsvektoren

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Janine911 Auf diesen Beitrag antworten »
Bilder der Einheitsvektoren
Meine Frage:
Hallo, ich habe hier eine Aufgabe vor mir und weiss garnicht wie ich anfangen soll :/

Folgende Matrix ist gegeben:



Die Aufgabenstellung lautet:

Wie lauten die Bilder der Einheitsvektoren der die Matrix definierten Abbildung ? (was heißt das??) :/
Welche Dimension hat der durch die Bilder der Einheitsvektoren aufgespannte Raum?

Ich weiss nun garnich, wie ich hier angefangen soll unglücklich kann mir jemand helfen?


Meine Ideen:
Ich hab gelesen, dass die Bilder der Einheitsvektoren die Spalten einer Matrix sind.. Also würde ich zunächst die Spalten abschreiben und hätte 4 Bilder.. Ist das korrekt? Nun ist ein weiteres Problem, dass ich nicht verstehe was mit R^4 -> R^3 gemeint ist.. Sozagen fehlt doch eine Zeile...
Wie geh ich da vor? Bin hier echt am verzeweifeln...

Vielen Dank im vorraus,

lg Janine
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bilder der Einheitsvektoren
1. Wie lauten die 4 Einheitsvektoren des

2. Was ist dann Ax von diesen Vektoren?

3. Wie hätte man das ohne Rechnung sehen können?
Janine911 Auf diesen Beitrag antworten »

Die vier Eigenvektoren lauten von R^4

(1;0;0;0)
(0;1;0;0)
(0;0;1;0)
(0;0;0;1)

um Ax auszurechnen müsste ich doch den Gauß Jordan anwenden oder?

und da die Matrix nur 3 Zeilen ist, ist (0;0;0;1) = 0

oder wie ist das?

danke für die schnelle antwort smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Unm Ax auszurechnen muss man nur Matrix mal Vektor rechnen. Matrix steht da und die vier x hast du mir eben genannt.
Janine911 Auf diesen Beitrag antworten »

ah danke Augenzwinkern

dann erhalte ich jeweils die Spalten der Matrix Augenzwinkern

und das wars?

lg
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Damit ist der Teil erledigt.

Zitat:
Welche Dimension hat der durch die Bilder der Einheitsvektoren aufgespannte Raum?


Was machen wir damit?
 
 
Janine911 Auf diesen Beitrag antworten »

gut smile

also damit kann ich leider nichts anfangen... Da es jetzt 4 Bilder sind, würde ich spontan sagen, dass die Dimension 4 ist Big Laugh smile

Noch mal eine Frage: Was bedeutet das eigtl: phi: R^4 -> R^3

danke für deine hilfe smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Grundlegende Eigenschaft einer Funtkion: Von WO nach WO wird abgebildelt.

Zitat:
a es jetzt 4 Bilder sind, würde ich spontan sagen, dass die Dimension 4 ist

Raten ist immer doof. Die 4 Vektoren liegen nun in einem Raum der Dimension 3. Tja, da ist wohl Essig mit deiner Idee. Maximal können 3 von ihnen was sein? Genau: Linear Unabhängig.

Ob sie das sind oder nicht bekommen wir wie raus? Das kannst du hier nachlesen. Es geht um die Dimension des Bildes. Klar?
[Artikel] Basis, Bild und Kern
Janine911 Auf diesen Beitrag antworten »

danke für deinen tipp Augenzwinkern da nun bild 2 und bild 4 hier linear abhängig ist und das vielfache davon ist "fällt" dieser weg smile Somit ist die Dimension hier nur 3^^

Jetzt nur noch eine Frage:

zu der obigen gennanten Sache die mir unklar war:

phi:R^4 -> R^3


Welche Rolle spielt phI? ist das hier nur der name der "Eigenschaft"

und heißt R^4 ->R^3 einfach nur dass einen einen Raum von 4. Dimension zu einem Raum von 3. Dimension sein?

Falls ja, dann könnte man die Antwort auf die Frage doch aus der Aufgabenstellung entnehmen, oder?

lg
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nö. 4 Vektoren in einem 3D Raum sind immer linear abhängig. Aber die Dimension könnte auch Null sein. Augenzwinkern Die l.A. von 2 Vektoren ist hier offensichtlich, schließt aber eine Dimension von 0,1,2 nicht aus. Also genauer bitte.

Phi ist die lineare Abbildung. Wie man sonst eher kennt





Hier:



Janine911 Auf diesen Beitrag antworten »

Edit: Was ist eigtl mit dem Nullvektor??

dann bleiben 2 nur noch 2 linearunabhängige vektoren über... oder??
Janine911 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist das so:

Die Dimension ist 3. Da der 3. Vektor/Bild ein NUllvektor ist Augenzwinkern

Ist also die Dimension, die Anzahl der von Nullverschiedener Bilder/Basen/Vektoren?

lg
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die Dimension ist die Anzahl der lin. unabhängigen Vektoren. Das sollst du nachrechnen. hier sieht man es hathalt sofort:




Spalte 3 und 4 fallen raus, 1 und 2 sind lu => Dimension ist 2
Janine911 Auf diesen Beitrag antworten »

ok vielen dank soweit Augenzwinkern

Eine letzte Frage: Werden zu den Bildern auch die linearabhängigen und NUllverktoren gezählt?

lg
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das Bild ist das Erzeugnis dieser 4 Spaltenvektoren. Das sind unendlich viele Vektoren.
Janine911 Auf diesen Beitrag antworten »

okay smile

dann noch mal vielen vielen vielen DANK smile )))
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