Eigenwerte der Householder-Matrix

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Magico Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte der Householder-Matrix
Hallo,

sei mit .
Man bestimme alle Eigenwerte der Matrix




Wie ich schon Wikipedia entnommen habe, sind die Eigenwerte +1 und -1.
Ich habe das auch anhand eines einfachen Beispiels nachgerechnet indem ich gesetzt habe und bin auch auf diese Eigenwerte gekommen.
Aber wie zeige ich das jetzt allgemein?
Magico Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich habe es jetzt "geschafft" zu beweisen, dass diese Householder-Matrix

(i) symmetrisch und
(ii) orthogonal

ist. Für orthogonale Matrizen gilt ja, dass alle Eigenwerte vom Betrag 1 sind. Ist das schon die Lösung oder kann man das noch genauer zeigen, daß sowohl +1 wie auch -1 vorkommt?
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

das hast du doch mit deinem bsp schon Augenzwinkern
mfG 20
Magico Auf diesen Beitrag antworten »

Ahm ... da ist was dran Hammer
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Für orthogonale Matrizen gilt ja, dass alle Eigenwerte vom Betrag 1 sind. Ist das schon die Lösung oder kann man das noch genauer zeigen, daß sowohl +1 wie auch -1 vorkommt?


Es gilt für hemritsche Matrizen das der Betrag der Eigenwerte 1 ist. Nun ist eine symmetrische orthogonale Matrix ein Spezialfall einer hermitschen Matrix. Da die Matrix symmetrisch ist sind alle Eigenwerte relle, damit gilt:



Also ja Du bist fertig wenn Du gezeigt hast das sie symmetrisch und orthogonal ist.
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