Frage zur Faltung

22.04.2012, 11:47

xenophil

Frage zur Faltung

Guten Tag,

ich habe mal wieder eine Frage. Und zwar hat unser Dozent neulich in der Vorlesung den Begriff der Faltung eingeführt und uns ein paar Beispiele gezeigt. Nun habe ich mich selbst ein wenig daran versucht.

Ich möchte folgende Funktion mit sich selbst falten:

$\begin{eqnarray*} f(t) = 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} -a < t < a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(t) = 0 \end{eqnarray*}$ für alles andere.

Ist es an der Stelle sinnvoll, das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \! f(\tau)g(\tau - t) \, \mathrm{d}\tau \end{eqnarray*}$

auszuwerten, oder sollte man den Umweg über das Fourier-Integral gehen, um zu einem Ergebnis zu kommen? Ich bin mir nämlich gerade unsicher, wie ich das Integral oben auf die gegebene Funktion anwenden soll. Immerhin macht es ja nur Sinn, den Fall zu betrachten für $\begin{eqnarray*} -a < t < a \end{eqnarray*}$ , da die Funktion dort den Wert 1 hat. Oder?

Hier fände ich eine Anregung ganz nett. Vielen Dank!

Grüße

23.04.2012, 05:01

gonnabphd

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Hi,

Diese Faltung kannst du direkt ausrechnen - ohne Fourier Transformation. Allerdings ist die Definition der Faltung (auch wenn's in diesem konkreten Fall keine Rolle spielt):

$\begin{eqnarray*} (f\ast g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \! f(\tau)g(t-\tau ) \, \mathrm{d}\tau \end{eqnarray*}$

und nicht $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \! f(\tau)g(\tau - t) \, \mathrm{d}\tau \end{eqnarray*}$

Zitat:

Immerhin macht es ja nur Sinn, den Fall zu betrachten für $\begin{eqnarray*} -a < t < a \end{eqnarray*}$ , da die Funktion dort den Wert 1 hat. Oder?

Es macht durchaus auch Sinn andere Werte von t zu betrachten. Möglicherweise ist die Faltung dort dann halt =0, aber das ist ja kein Problem.

Tipp: Hilfreich könnten folgende Fakten sein (zur Erinnerung): Bezeichnet $\begin{eqnarray*} \chi_A \end{eqnarray*}$ die charakteristische Funktion einer Menge $\begin{eqnarray*} A\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ , so haben wir

$\begin{eqnarray*} \chi_A(x) \cdot \chi_B(x) = \chi_{A\cap B}(x)\qquad \forall A,B\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \chi_{[-a,a]}(x-y) = \chi_{[y-a, y+a]}(x) = \chi_{[x-a, x+a]}(y) \end{eqnarray*}$

Gruss

23.04.2012, 15:30

xenophil

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Hi,

also im speziellen Fall interessiert mich der Flächeninhalt unter der Funktion, die dabei entsteht. Dummerweise verwirrt mich gerade, dass die gegebene Funktion nicht von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ abhängt. Würde ich da also einfach folgendes annehmen (für: $\begin{eqnarray*} f(t) = 1 \end{eqnarray*}$ )?

$\begin{eqnarray*} f(\tau) &= 1 \\<br /> f(\tau - t) &= 1 \end{eqnarray*}$

Woraus sich dann ergibt:

$\begin{eqnarray*} A &= \int_{-a}^a \! f(\tau)f(\tau - t) \, \mathrm{d}\tau = \int_{-a}^a \! 1 \, \mathrm{d}\tau = 2a \end{eqnarray*}$

Danke für die Hilfe und viele Grüße.

23.04.2012, 16:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von xenophil
Dummerweise verwirrt mich gerade, dass die gegebene Funktion nicht von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ abhängt.

Das ist nicht wahr: Sie ist 1 für gewisse $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , und für alle anderen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ gleich 0 - auch das ist eine Abhängigkeit.

Insofern ist deine Rechnung (mit der Korrektur von gonnabphd, die du ignoriert hast)

$\begin{eqnarray*} A &= \int_{-a}^a \! f(\tau)f(t-\tau) \, \mathrm{d}\tau = \int_{-a}^a \! 1 \, \mathrm{d}\tau = 2a \end{eqnarray*}$

nur für $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ richtig, für alle $\begin{eqnarray*} t\neq 0 \end{eqnarray*}$ hingegen falsch.

23.04.2012, 16:26

xenophil

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von xenophil
Dummerweise verwirrt mich gerade, dass die gegebene Funktion nicht von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ abhängt.

Hups, am Blatt hab ich die Korrektur mit eingebaut, beim Abschreiben wieder umgedreht. Argh.

Wie dem auch sei... wie würde ich denn die Formel für $\begin{eqnarray*} t \neq 0 \end{eqnarray*}$ anwenden? Wie sehe ich dort die Abhängigkeit von t?

Danke für die Hilfe.

23.04.2012, 16:38

Steffen Bühler

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Mir hat es geholfen, mir die Faltung visuell zu veranschaulichen:

Zeichne die Funktion auf ein Blatt Papier und dann nochmal auf ein zweites. Nimm eine Schere und schneide die Funktion beim zweiten Blatt aus, so daß Du ein rechteckiges Loch der Breite 2a und der Höhe 1 hast.

Lege das Papier mit dem Loch nun über das erste und schieb es langsam von links nach rechts. Da die Höhe der Funktionen 1 ist, geht es letztlich um die sichtbare Fläche. Du siehst nun lange Zeit "Null", dann aber beginnt die Fläche zu wachsen, erreicht ein Maximum und wird dann wieder kleiner. Und das ist die mit sich selbst gefaltete Funktion.

Viele Grüße
Steffen

23.04.2012, 16:59

xenophil

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Mir hat es geholfen, mir die Faltung visuell zu veranschaulichen:

Zeichne die Funktion auf ein Blatt Papier und dann nochmal auf ein zweites. Nimm eine Schere und schneide die Funktion beim zweiten Blatt aus, so daß Du ein rechteckiges Loch der Breite 2a und der Höhe 1 hast.

Lege das Papier mit dem Loch nun über das erste und schieb es langsam von links nach rechts. Da die Höhe der Funktionen 1 ist, geht es letztlich um die sichtbare Fläche. Du siehst nun lange Zeit "Null", dann aber beginnt die Fläche zu wachsen, erreicht ein Maximum und wird dann wieder kleiner. Und das ist die mit sich selbst gefaltete Funktion.

Viele Grüße
Steffen

Hi, danke für den Tipp.

Wenn ich richtig liege, müsste da ja eine Dreiecksfunktion herauskommen, denn zunächst nimmt der Flächeninhalt ja linear zu, bevor er dann gleichermaßen wieder abnimmt. Aber wie drücke ich das formelmäßig aus? Da hakt es derzeit bei mir.

Grüße

23.04.2012, 20:57

gonnabphd

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Ich kann mich nur wiederholen:

Zitat:

Tipp: Hilfreich könnten folgende Fakten sein (zur Erinnerung): Bezeichnet $\begin{eqnarray*} \chi_A \end{eqnarray*}$ die charakteristische Funktion einer Menge $\begin{eqnarray*} A\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ , so haben wir

$\begin{eqnarray*} \chi_A(x) \cdot \chi_B(x) = \chi_{A\cap B}(x)\qquad \forall A,B\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \chi_{[-a,a]}(x-y) = \chi_{[y-a, y+a]}(x) = \chi_{[x-a, x+a]}(y) \end{eqnarray*}$

Damit geht das eigentlich ganz gut...

$\begin{eqnarray*} \int f(\tau) f(t- \tau) \, d\tau &=& \int \chi_{(-a,a)}(\tau) \chi_{(-a,a)}(t-\tau) \, d\tau \\ &=& \int \chi_{(-a,a)}(\tau) \chi_{(t-a, t+a)}(\tau) \, d\tau \\ &=&\int \chi_{(-a,a)\cap (t-a, t+a)}(\tau)\, d\tau \\ &=& \ldots \end{eqnarray*}$

Nun musst du bloss noch herausfinden, welche Länge $\begin{eqnarray*} (-a,a)\cap (t-a,t+a) \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von t hat...

23.04.2012, 21:26

xenophil

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Hi,

danke für die Antworten. Was bedeutet eigentlich dieses $\begin{eqnarray*} \chi \end{eqnarray*}$ ? Habe das bisher nie gesehen bzw. sagt mir deine Definition davon in deiner ersten Antwort nichts.

Viele Grüße

23.04.2012, 21:41

Gast11022013

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Es handelt sich bei dem $\begin{eqnarray*} \chi \end{eqnarray*}$ um die charakteristische Funktion.

Zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \chi_{(-\infty,a]}(x)=\begin{cases} 1, & \text{falls }x\leq a \\ 0, & \text{falls } x>a \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

24.04.2012, 00:56

gonnabphd

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Zitat:

Original von xenophil
Was bedeutet eigentlich dieses $\begin{eqnarray*} \chi \end{eqnarray*}$ ? Habe das bisher nie gesehen bzw. sagt mir deine Definition davon in deiner ersten Antwort nichts.

Also, bitte... Als Student an einer Universität sollte man halt schon nicht so hilflos sein unglücklich

Zitat:

Original von gonnabphd
Bezeichnet $\begin{eqnarray*} \chi_A \end{eqnarray*}$ die charakteristische Funktion einer Menge $\begin{eqnarray*} A\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ , so haben wir

Ich schreib dir da ja sogar noch hin, was das $\begin{eqnarray*} \chi_A \end{eqnarray*}$ sein soll!

24.04.2012, 06:28

Gast11022013

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Ich habe gar nicht gesehen, daß Du das selbst erklärt hast.

Sorry dann für die Einmischung, gonnabphd.

24.04.2012, 06:59

gonnabphd

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Zitat:

Original von Dennis2010
Sorry dann für die Einmischung, gonnabphd.

Nein, nein! Eine solche, hilfreiche "Einmischung" ist - von meiner Seite aus gesehen - sogar ausdrücklich erwünscht. Danke dir dafür.

Allerdings bleibt die Frustration, wenn Leute, welche hier Hilfe suchen, offenbar keinen Grund sehen ein wenig Eigeninitiative zu zeigen...

24.04.2012, 07:40

HAL 9000

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Ich möchte noch einwerfen, dass in der Stochastik dafür auch der Begriff Indikatorfunktion verwendet wird, aus Gründen der Abgrenzung zu der hier nicht gemeinten charakteristischen Funktion (Stochastik).

Da es hier aber allem Anschein nach nicht um Stochastik geht, besteht im vorliegenden Fall diese Verwechslungsgefahr nicht. Augenzwinkern

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