Zufallsvariable messbare Funktion

22.04.2012, 11:56	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
Zufallsvariable messbare Funktion Hi Ich würde gerne wissen, wie man für eine reellwertige Zufallsvariable zeigt, dass es sich um eine messbare Funktion handelt. I.e. dass das Urbild jeder messbaren Menge (hier damit ein Element der Borel-Sigma-Algebra) des Wertebereiches wiederum messbar (dh Element der Sigma-Algebra der Definitionsmenge) ist? Habt ihr mir da Tipps zum Beginnen? Danke
23.04.2012, 13:51	Zündholz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zufallsvariable messbare Funktion Hallo, eine Zufallsvariable ist nach Definition messbar. Also ist deine Frage wie man zeigt, dass eine reellwertige Funktion messbar ist? Eine Möglichkeit ist wie du schon geschrieben hast über die Definition zu gehen. Wenn du eine konkrete Funktion hast dann kann man sich evtl auch andere Sachen ansehen wie Stetigkeit etc.
23.04.2012, 20:51	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast recht, was ich meine ist die Messbarkeit einer Funktion zu zeigen. Im Fall einer Zufallsvariablen wird dabei immer drauf hingewiesen, dass X^-1((-oo,r]) für alle r in den reellen Zahlen verwendet werden (also als äquivalent zu der Definition der Verteilung der Zufallsvariablen). Jedoch weiss ich nicht konkret, wozu ich diese Eigenschaft verwenden könnte, um die Messbarkeit zu zeigen...
24.04.2012, 10:48	Zündholz	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, Also die Sache ist die, wenn es sich um die Borel sigma Algebra auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ handelt, dann bildet $\begin{eqnarray} \{(-\infty,r]\|~r\in \mathbb R\} \end{eqnarray}$ ein Erzeugendensystem. Erfüllt nun eine Funktion $\begin{eqnarray} X: \Omega \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ , folgende Eigenschaft: $\begin{eqnarray} X^{-1}((-\infty,r]) \in \mathcal A,\quad \forall r \in \mathbb R, \qquad (1) \end{eqnarray}$ wobei es sich bei $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ um die entsprechende sigma Algebra auf $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ handelt, so ist diese Funktion auch messbar. Um das zu sehen kannst du dir erst mal überlegen wie du $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a < b \end{eqnarray}$ mit Hilfe von Intervallen der Form $\begin{eqnarray} (-\infty,r] \end{eqnarray}$ schreiben kannst, um zu sehen, dass das Urbild $\begin{eqnarray} X^{-1}([a,b]) \in \mathcal A \end{eqnarray}$ liegt. Damit bekommst du vielleicht schonmal so ne Idee warum die Abbildung messbar ist wenn (1) gilt. Der Beweis für beliebige messbare Mengen ist ein klein wenig komplizierter. Allerdings würde es mich verwundern wenn ihr den nicht gemacht habt (zumal die Idee ein Erzeugendensystem zu verwenden von dir kommt). Ich hoffe das hilft etwas weiter. Schöne Grüße
30.04.2012, 13:19	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab mir dein Post länger angeschaut, leider habe ich aber keine Ahnung, wie ich da weiterkomme. Ich hab nur die Vorlesung "Statistik" besucht und hatte noch keine Wahrsch.theorie oder Masstheorie - diese Frage hat mich persönlich interessiert (wir haben also weder dies noch Ähnliches in der Vorlesung behandelt). Kannst du mir ev. nochmals nen Tipp geben? Thx

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