Extremwertaufgabe Rinne

22.04.2012, 12:24

schüler009

Extremwertaufgabe Rinne

Hallo!

Ich über gerade ein bisschen für eine Arbeit nächste Woche und mache eine Extremwertaufgabe zur Kontrolle möchte ich hier sie posten.

Es soll eine Rinne aus vier gleichen Brettern der Breite x, wie in der Skizze angegeben, gebaut werden.
Bei welchem Öffnungswinkel alpha besitzt diese Rinne maximalen Querschnitt ?

Für Skizze siehe Anhang.

Hier mal die Flächenformel: $\begin{eqnarray*} A=x*y+\frac{x*h}{2} \end{eqnarray*}$

Wir haben hier 2 Unbekannt, d.h. eine muss weg...
In dem Fall suche ich eine Formel für y die lautet:
$\begin{eqnarray*} y=2*\sqrt{x^2-h^2} \end{eqnarray*}$

Diese Formel in die Flächenformel einsetzen und dann ableiten.
Danach auf 1. Ableitung 0 setzen und auf h umformen, dann aplpha berechnen.

Passt der Ansatz bis jetzt?

In der Lösung steht für alpha = 137°, d.h. man muss für x einen Wert annehmen oder kürzt sich das x später weg?

LG schüler

22.04.2012, 12:26

schüler009

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Hier die Skizze.

22.04.2012, 12:51

mYthos

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Die Fläche ist in Abhängigkeit von alpha darzustellen und mit der Ableitung nach diesem Winkel weiter zu verfahren, da ja die Fläche von alpha abhängig ist. Die Breite (x) der Bretter ist in diesem Falle gegeben und als konstant anzusehen, sie wird in den klassischen Aufgaben nicht mit x, sondern mit (beispielsweise) b bezeichnet. Sie kann (richtigerweise) aus der Ansatzfunktion gekürzt werden.

Prinzipiell ist es auch möglich, mit h weiterzurechnen, dieses in x, y auszudrücken und dann die Flächenfunktion nach y abzuleiten (x bleibt konstant). Die durch Nullsetzen entstehende Gleichung ist aber praktisch nur schwer nach y lösbar.

mY+

22.04.2012, 13:11

schüler009

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Danke!

Also diese Flächenformel ist gemeint?:

$\begin{eqnarray*} A=\frac{a*b*sin(alpha))}{2}+x*y \end{eqnarray*}$

Also statt a und b kann man auch x schreiben...

2 unbekannte haben wir jetzt y und Alpha. Und y bekommen wir mit Hilfe des Sinussatzes: $\begin{eqnarray*} \frac{a}{sin(\beta )}=\frac{y}{sin(\alpha )} \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} \beta=\frac{180°-\alpha}{2} \end{eqnarray*}$ .

Das alles jetzt in die Flächenformel einsetzen und nach alpha ableiten?

Richtig?

Warum hätte das nicht nach meinem Ansatz funktioniert? Muss den immer das gesucht in der formel vorkommen?

22.04.2012, 13:40

mYthos

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Prinzipiell ist es auch möglich, mit h weiterzurechnen, dieses in x, y auszudrücken und dann die Flächenfunktion nach y abzuleiten (x bleibt konstant). Die durch Nullsetzen entstehende Gleichung ist wegen der Wurzel und der Quadrate aber praktisch nur schwer nach y lösbar.
________________________

Den Sinussatz würde ich eher nicht ins Spiel bringen, es geht zwar, aber macht es das Ganze nicht komplizierter? Ich hab' das allerdings jetzt nicht weiter so gerechnet.

Tipp:
Nimm den halben Öffnungswinkel als alpha an, dann hast du ein rechtwinkeliges Dreieck, in welchem die Winkelfunktionen direkt ablesbar sind.
Dann musst du noch y ersetzen und zwar durch y = 2x sin (alpha),
weil sin (alpha) = y/(2x).

Letztendlich erhalten wir alpha = 68,53° ... (das natürlich zum Endergebnis noch mal 2 zu nehmen ist)

22.04.2012, 13:50

schüler009

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Danke dir!

Macht das die lange Erfahrung aus, das man gleich weiß wie sowas funktioniert und das gleich auf dem leichtesten Weg?

Ich rechne erst 1-2 Monate mit Extremwertaufgaben smile

22.04.2012, 16:13

sch+üer009

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Ich dachte ich habs verstanden, aber dann... weis net bei mir kommt da 180° raus.

Hier die Flächenformel mit y eingesetzt: $\begin{eqnarray*} A(\alpha )=\frac{x^2*sin(\alpha )}{2}+2*x^2*sin(\frac{\alpha }{2}) \end{eqnarray*}$

Alpha /2 deswegen, weil ich ja mit dem halben dreieck das y ausgerechnet habe.

1. Ableitung:
$\begin{eqnarray*} A'(\alpha )=\frac{x^2*cos(\alpha)}{2}+x^2*cos(\frac{\alpha}{2}) \end{eqnarray*}$

Richtig abgeleitet habe ich ja auch oder?

22.04.2012, 20:48

mYthos

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Dein Ansatz sieht gut aus! Die Ableitung stimmt auch.
Du musst nun noch cos(alpha) durch den halben Winkel ausdrücken. Das geschieht mit dem Additionstheorem

$\begin{eqnarray*} \cos 2 x = \cos^2 x - \sin^2 x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos \alpha = \cos^2 \frac{\alpha} 2 - \sin^2 \frac{\alpha} 2 \end{eqnarray*}$

Setzen wir dann einfach alpha/2 = beta.
Und dann dividiere doch einfach durch x², denn das ist ja konstant.
Auf deine Aufgabe umgesetzt ist nun

$\begin{eqnarray*} f \ '(\beta) = \frac {\cos^2 \beta - \sin^2 \beta} 2 + \cos \beta \end{eqnarray*}$

Wenn wir dies Null setzen und das Quadrat des Sinus durch den entsprechenden Cosinusterm ausdrücken, kommt (mit 2 multipliziert):

$\begin{eqnarray*} 2 \cos^2 \beta + 2 \cos \beta -1 = 0 \end{eqnarray*}$

mit der bereits angegebenen Lösung.

mY+

23.04.2012, 17:44

schüler009

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Ok danke!

Aber eins ist mir überhaupt nicht klar. Warum sollte ich den cos nicht so lassen dürfen? Ja es kommt das richtige Ergebnis raus, aber warum muss ich den verändern??

Also warum muss ich den bei der Ableitung für cos eine extraformel mit halbem Winkel einsetzen?

24.04.2012, 00:01

mYthos

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Erkläre mir bitte, wie du sonst die Gleichung nach dem Winkel auflösen willst.
Irgendeine Umformung wirst du wohl zu veranstalten haben ...

(Und bitte nicht sagen, das löst der GTR näherungsweise eh von alleine)

mY+

24.04.2012, 00:36

schüler009

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Zitat:

Original von sch+üer009

Hier die Flächenformel mit y eingesetzt: $\begin{eqnarray*} A(\alpha )=\frac{x^2*sin(\alpha )}{2}+2*x^2*sin(\frac{\alpha }{2}) \end{eqnarray*}$

Alpha /2 deswegen, weil ich ja mit dem halben dreieck das y ausgerechnet habe.

1. Ableitung:
$\begin{eqnarray*} A'(\alpha )=\frac{x^2*cos(\alpha)}{2}+x^2*cos(\frac{\alpha}{2}) \end{eqnarray*}$

Die Flächenformel der Rinne besteht ja aus, Flächenformel des Dreiecks in abhängigkeit von Alpha und Flächenformel des Dreiecks.

Da wir y nicht kennen, habe ich einfach y mit hilfe der Winkelfunktlionen ausgerechnet und diese Formel dann in die Gesamten Flächenformel, wie man oben auch sieht eingesetzt.

Ok gut ich hab die flächenformel.

Nun einfach jetzt Ableiten... diese Ableitung gleich Null setzen und auf Alpha umformen.

Ja, aber da kommt jetzt 180° raus bei Alpha, wenn ich mich net verrechnet habe.

Dieser Lösungsweg ist für mich am logischten. Was habe ich da falsch verstanden?

24.04.2012, 00:43

mYthos

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Ich habe dir doch geschrieben, dass es bis zur Ableitung ohnehin richtig war, daher musst du das nicht nochmals erklären.

Die Ableitung Null gesetzt ergibt aber nicht alpha = 180°, wie du dich durch Einsetzen leicht überzeugen kannst. WIE hast du gerechnet?

Es führt kein Weg an einer Umformung vorbei, glaube es mir.

mY+

24.04.2012, 00:54

schüler009

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Mh ok warum spuckt Mathcad 180° aus obwohl es gar nicht stimmt?

Ich kann das auch nicht umformen, wenn ich die Ableitung durch nix ersetze oder so.

Darum muss man deine Möglichkeit anwenden, das man gut umformen kann richtig?

Ich glaub ich habs verstanden. Danke!

24.04.2012, 01:16

mYthos

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Kommt darauf an, was und wie du es in Mathcad eingegeben hast ..

Die richtige Lösung kennst du ja, du solltest nun (aber sicher nicht mehr heute) noch den exakten Lösungsweg schreiben (NICHT mit Mathcad, sondern mittels eigener Rechnung!), damit der Tread gut abgeschlossen werden kann. Wenn es dir nicht gelingt, dann bitte hier nochmals darauf zurückkommen.

mY+

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