Rekonstruktion einer Funktion vierten Grades

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22.04.2012, 14:28	Sinalara	Auf diesen Beitrag antworten »
Rekonstruktion einer Funktion vierten Grades Meine Frage: Guten Taaaaag, ich habe folgende Aufgabe bekommen und leider komm ich nicht weiter. Die Aufgabe: Eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph achsensymmetrisch zu y-Achse ist, hat bei x=2 eine Nullstelle. Der Graph von f hat im Punkt P(1 l -6) eine Tangente, die seknrecht zur Geraden y= 0,5x+2 steht. Meine Ideen: Ansatz: f(x)= ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d Die Eigenschaften: - ganzrational - achsensymmetrisch, dh alle ungraden Exponenten fallen weg = ax^4+cx^3 - Nullstelle (2l0) - Punkt (1l-6) - Tangente am Punkt anliegend => f(1) = -6 - Tangente steht senkrecht zu y= 0,5x + 2 => f(1)= -2 Umsetzung: Tangente: m1m2= -1 0,5m2=-1 l : 0,5 m2= -2 NS: f(0)= a0^4 + b0^3 + c0^2 + d0 + e e = 0
22.04.2012, 14:33	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rekonstruktion einer Funktion vierten Grades - ganzrational - achsensymmetrisch, dh alle ungraden Exponenten fallen weg = ax^4+cx^3 - Nullstelle (2l0) - Punkt (1l-6) - Tangente am Punkt anliegend => f(1) = -6 - Tangente steht senkrecht zu y= 0,5x + 2 => f(1)= -2
22.04.2012, 14:41	Sinalara	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ja noch mit das leichteste .. aber wie erstelle ich jetzt eine Funktion daraus?
22.04.2012, 14:48	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rekonstruktion einer Funktion vierten Grades Fassen wir es mal richtig zusammen: - achsensymmetrisch, dh alle ungraden Exponenten fallen weg => f(x) = ax^4 + cx² + e => f'(x) = 4ax² + 2cx - Nullstelle (2l0) => f(2) = 0 => 0 = .... - Punkt (1l-6) => f(1) = -6 => -6 = ..... - Tangente steht senkrecht zu y= 0,5x + 2 => f'(1)= -2 => -2 = .... So schwer ist das nicht mehr.
22.04.2012, 14:51	Sinalara	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich versuch's mal
22.04.2012, 15:25	Sinalara	Auf diesen Beitrag antworten »
Ratlosigkeit ..
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22.04.2012, 15:28	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibe doch mal auf, was du gemacht hast.
22.04.2012, 15:30	Sinalara	Auf diesen Beitrag antworten »
aalso ich hab die Nullstelle und den Punkt in die Funktion eingesetzt. Aber irgendwie kommt dann sowas raus: Nullstelle: 16a + 16c +e= 2 Punkt: a+c+e= -6
22.04.2012, 15:36	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstelle: 16a + 16c +e= 2 edit: Das Rote ist falsch. Punkt: a+c+e= -6 Und was ist mit f'(1)= -2 ?
22.04.2012, 15:44	Sinalara	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstelle: 16a + 4c + e ? Ehm f'(1) = -2 = -2 = 4a^3 + 2c
22.04.2012, 15:48	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
16a + 4c + e = 0 -2 = 4a + 2c
22.04.2012, 15:55	Sinalara	Auf diesen Beitrag antworten »
verdammt Danke
22.04.2012, 15:58	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du die Funktionsgleichung herausgefunden hast, wäre es schön, wenn du sie hier aufschreibst.
22.04.2012, 15:59	Sinalara	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach ich! Muss ich jetzt alle drei addieren? Oder addiere ich zuerst die NS und den Punkt und wenn ich dann was raus habe noch die Tangente?
22.04.2012, 16:06	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
I 16a + 4c + e = 0 II a + c + e = -6 III 4a + 2c = -2 Ich würde I - II rechnen, dann erhältst du eine neue Gleichung IV. III kannst du durch 2 teilen. Dann denke ich, dass du siehst, wie es weitergeht.
22.04.2012, 16:29	Sinalara	Auf diesen Beitrag antworten »
soo, ich habe jetzt folgendes gerechnet: I) 0= 16a + 4c + e l (-1) II) -6= a + c + e ________________ 0 = 16a - 4c l (-4) -6 = a + c __________ 0 = - 16a -6 = a ____________ -6= - 15a l (-1) ________ 15a = 6 l : 15 a= 2/5 4a + 2c = - 2 l :2 2a + c = -1 l 2/5a einsetzen 4/5 + c = -1 l - 4/5 c = - 9/5 0 = 16 2/5 + 4*(-9/5) + e 0= - 4/5 + e l + 4/5 e= 4/5 f(x) = 2/5x^4-9/5x^2+4/5 Stimmt das?
22.04.2012, 16:35	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst nicht aus I und II erst e eliminieren und dann noch gleichzeitig c. Das richtige Vorgehen wäre folgendes: I) 0= 16a + 4c + e l *(-1) II) -6= a + c + e I) 0= -16a - 4c - e II) -6= a + c + e ________________ I + II = IV) 6 = -15a -3c Jetzt kannst du IV vereinfachen, indem du durch 3 teilst.
22.04.2012, 16:42	Sinalara	Auf diesen Beitrag antworten »
baoufdahjasdn ok. Dann eben so: I) 0= 16a + 4c + e l (-1) II) -6= a + c + e I) 0= -16a - 4c - e II) -6= a + c + e ________________ I + II = IV) 6 = -15a -3c l :3 III 4a+2c=-2 ____________ IV -2 = -5a - c III -2= 4a + 2c l :2 ___________________ IV -2= -5a III -1 = 2a _____________ -3 = -3a l (-1) a= 1
22.04.2012, 16:46	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig. Dann mal weiter. Jetzt ist es nicht mehr so schwer.
22.04.2012, 16:52	Sinalara	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank ! So, dann wäre c= -3 und e = 4 f(x)= x^4 -3x^2 + 4
22.04.2012, 16:56	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, denke bei e noch einmal genau nach.
22.04.2012, 16:59	Sinalara	Auf diesen Beitrag antworten »
e ist -4, nicht 4
22.04.2012, 17:01	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig. f(x)= x^4 -3x^2 - 4 Und so sieht der Graph der Funktion aus:
22.04.2012, 17:07	Sinalara	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen vielen dank
22.04.2012, 17:09	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen.

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