Beispiel zur Prädikatenlogik

22.04.2012, 14:44

^101

Beispiel zur Prädikatenlogik

Schönen Sonntag miteinander!

Folgende Fragestellung:

Zitat:

SeiA={1,4,9,16,25, . . .} die Menge aller Quadratzahlen,Bdie Menge aller
ganzen Zahlen, die Potenzen von 3 sind,
C={x∈C| ∃n∈N\ {0} : x ^n = 1}
und
D={x∈N| (x² > 3) ∧ (x < 14) ∧ (3| x)}.

Geben Sie die Mengen A und B in ”mathematischer Notation“ an, d.h., nicht
aufzählend oder verbal, sondern unter ausschließlicher Verwendung geeigneter
Prädikate. Beschreiben Sie die Menge C verbal und nennen Sie drei Elemente
von C. Geben Sie alle Elemente von Dkonkret an.

Ich würde gerne mit C beginnen.

Meine verbale Umschreibung lautet wie folgt:
[quote]

"Für alle x Elemente aus den komplexen Zahlen C existiert mindestens ein Element n aus den natürlichen Zahlen N ohne Null für welche gilt x hoch n ist 1."

Da ich mit komplexen Zahlen nie irgendetwas zu tun habe fällt mir die weitere Lösung schon viel schwerer.

Ein Beispiel wäre eventuell: (1 + 0i)^1 = 1 -> x1 = (1+0i)^1

Würde das stimmen?

Bei D käme ich auf D = {3}. Begründung: 1 geht nicht, weil 1^2 nicht größer als 3 ist. 2 geht nicht weil 2^2 zwar größer als 3 und 2 echt kleiner als 14, aber nicht durch 3 teilbar ist.

3^2 = 9.

3 < 3 < 14 und 3 teilt 3.

Ich denke das ist richtig.

A und B finde ich da etwas härter.

Mein Ansatz bisher: A = {x | x € N: x²}

(Die Menge A besteht aus x Elementen, wobei x in den natürlichen Zahlen liegt und x zum quadrat genommen wird.)

aber weiter komme ich irgendwie nicht und das da oben ist sicher falsch. B würde dann ja relativ analog funktionieren, nur mti den ganzen Zahlen und (-)3^x.

Mag mich jemand zärtlich in die richtige Richtung schubsen? (Bitte zärtlich, ich bin kein Mathegenius, bemühe mich aber redlich!)

Freundliche Grüße
^101 alias HighFive

23.04.2012, 09:55

^101

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Entschuldigung bitte vielmals, mir ist erst jetzt aufgefallen, dass ich das tex vergessen hab unglücklich

Hier nochmal die Angabe:

A = {1, 4, 9, 16, 25 ...} -> formal in Prädikatenlogik anschreiben.
B = "Die Menge aller ganzen Zahlen, die Potenzen von 3 sind"
(3, 9, 27, 81, 243 ...)

C = $\begin{eqnarray*} \{ x \in C | \exists n \in N \backslash \{0\} : {x^n} = 1\} \end{eqnarray*}$
D = $\begin{eqnarray*} \{ x \in N | (x² > 3) \land (x < 14) \land (3|x)\} \end{eqnarray*}$

Meine Lösungen/Überlegungen

C = "Für alle x Elemente aus den komplexen Zahlen C existiert mindestens ein Element n aus den natürlichen Zahlen N ohne Null für welche gilt x hoch n ist 1."

Da ich mit komplexen Zahlen nie irgendetwas zu tun habe fällt mir die weitere Lösung schon viel schwerer.

Ein Beispiel wäre eventuell: (1 + 0i)^1 = 1 -> x1 = (1+0i)^1
Würde das gelten? Hinweise und Lösungsansätze zu weiteren 2 Beispielen erbeten smile

Für D habe ich meine Lösung nochmal überdacht.

D = {3, 6, 9, 12}

Es muss ja nur x kleiner sein als 14, nicht x² (hier lag mein Denkfehler, wenn x² < 14 da stehen würde, ginge nur 3!)

Diese Zahlen zum Quadrat genommen sind sicher größer als 3, sie sind (^1 genommen) kleiner als 14 und durch 3 teilbar.

Bei A und B stehe ich weiterhin an unglücklich

23.04.2012, 22:51

weisbrot

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also du siehst doch bestimmt, dass A alle quadratzahlen enthält. das würde sich beispielsweise so definieren lassen: $\begin{eqnarray*} A:=\{ n \in \mathbb N | \exists k \in \mathbb N : n = k^2 \} \end{eqnarray*}$ . und B - also die potenzen von 3 wirst du doch sicher angeben können, oder?: 1, 3, 9, 27, 81, ... bzw. wenn du die menge wieder formell beschreiben sollst kannst du dich an A orientieren. D hast du richtig gemacht. C ist natürlich schwierig wenn du komplexe zahlen noch nicht kennst. aber du kannst dir komplexe zahlen als punkte in der euklidischen ebene veranschaulichen (realteil die eine, imaginärteil die andere koordinate, 1 entspricht dann also dem punkt (1,0)); hier entspricht dann eine potenzierung einer kompl. zahl mit n einer potenzierung des radius (abst. zu (0,0)) mit n und eine ver- n -fachung des winkels der kompl. zahl. damit kannst du dir bestimmt etwa überlegen wie die menge C aussieht. lg

24.04.2012, 15:34

^101

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Zitat:

Original von weisbrot
also du siehst doch bestimmt, dass A alle quadratzahlen enthält. das würde sich beispielsweise so definieren lassen: $\begin{eqnarray*} A:=\{ n \in \mathbb N | \exists k \in \mathbb N : n = k^2 \} \end{eqnarray*}$ . und B - also die potenzen von 3 wirst du doch sicher angeben können, oder?: 1, 3, 9, 27, 81, ... bzw. wenn du die menge wieder formell beschreiben sollst kannst du dich an A orientieren. D hast du richtig gemacht. C ist natürlich schwierig wenn du komplexe zahlen noch nicht kennst. aber du kannst dir komplexe zahlen als punkte in der euklidischen ebene veranschaulichen (realteil die eine, imaginärteil die andere koordinate, 1 entspricht dann also dem punkt (1,0)); hier entspricht dann eine potenzierung einer kompl. zahl mit n einer potenzierung des radius (abst. zu (0,0)) mit n und eine ver- n -fachung des winkels der kompl. zahl. damit kannst du dir bestimmt etwa überlegen wie die menge C aussieht. lg

Hallo und danke dir!

A ist mir klar, aber bei B bin ich jetzt unsicher.

$\begin{eqnarray*} B:=\{ 3 \in \mathbb N | \exists k \in \mathbb Z : 3^k \} \end{eqnarray*}$ reicht das schon oder ist die Menge damit formal nicht korrekt beschrieben?

Das mit der Zahlenebene ist mir soweit klar, stimmt denn (1 + 0i)^1 als ein Beispiel für x?

Ansonsten hätt ich mir noch überlegt x2 = -(0-i)² und x3 = -(0+i)². Ich mach mir da zu Nutzen, dass i² ja immer -1 ist.

Aber ob das so gelten würde?

25.04.2012, 19:58

weisbrot

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} B:=\{ 3 \in \mathbb N | \exists k \in \mathbb Z : 3^k \} \end{eqnarray*}$

es ist sehr unglücklich da hier 3 als variable steht (wolltest du bst. nicht; jedenfalls sollte es besser n in IN heißen). und dort wo 3^k steht muss eine aussage stehen. richtig wäre z.b.: $\begin{eqnarray*} \{ n\in \mathbb N | \exists k\in \mathbb N : n = 3^k \} \end{eqnarray*}$ . und bei deiner komplexen menge sind alle deine drei beispielelemente gleich, nämlich 1. aus meinem hinweis zur veranschaulichung von potenzierung hättest du schließen sollen, dass diese menge auf dem einheitskreis in der komplexen ebene liegt (also teilmenge dieses, aber nicht gleich dem ist). das sind also komplexe zahlen mit abstand 1 vom ursprung, also z mit |z| = 1. allerdings ist diese menge nur abzählbar, also nicht der ganze kreis. lg

26.04.2012, 10:15

^101

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Zitat:

Original von weisbrot

Zitat:

$\begin{eqnarray*} B:=\{ 3 \in \mathbb N | \exists k \in \mathbb Z : 3^k \} \end{eqnarray*}$

Danke, B macht jetzt Sinn, C allerdings absolut nicht. Ich würd das Beispiel einfach zur Hälfte machen und hoffen, dass es reicht.

Wenn ich während der Klausur anfange mir irgendwelche komplexen Zahlen vorzustellen kann ich sie auch gleich lassen traurig

Danke dir jedenfalls.

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