Teilbarkeit, Fermat'sche Zahlen

22.04.2012, 15:08

Hans77

Teilbarkeit, Fermat'sche Zahlen

Meine Frage:
Hallo miteinander. Hier meine Frage:
Zeigen Sie, dass für m,n aus den natürlichen Zahlen, mit n<m gilt:
$\begin{eqnarray*} 2^{2^n}+1|2^{2^m}-1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also ich habe mir gedacht, dass ich es mit Induktion über m zeige.

Induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} n=1, m=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2^{2^1}+1 = 5<br /> 2^{2^2}-1 = 15 \end{eqnarray*}$

stimmt also

Induktionsvorraussetzung:
$\begin{eqnarray*} 2^{2^n}+1|2^{2^m}-1 \end{eqnarray*}$ stimmt

Induktionsschritt: m wird m+1
$\begin{eqnarray*} 2^{2^m+1}-1 = (2^{2^m}-1) * (2^{2^m}+1) \end{eqnarray*}$

Nun sehe ich, dass nach IV der erste Faktor geteilt wird. Hier hänge ich jetzt aber. Wie gehe ich weiter vor bzw. wie beweise ich, dass $\begin{eqnarray*} 2^{2^n}+1|2^{2^m}+1 \end{eqnarray*}$ ?

Danke schon mal im Vorraus.

22.04.2012, 15:13

Hans77

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Oh, bin jetzt irgendwie auf der Leitung gestanden.
Wenn $\begin{eqnarray*} 2^{2^n}+1 \end{eqnarray*}$ einen Faktor teilt, dann teilt es auch das Produkt. Stimmt das so?

22.04.2012, 15:19

HAL 9000

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Hier hast du dich in der Formel verschrieben:

Zitat:

Original von Hans77
$\begin{eqnarray*} 2^{2^m+1}-1 = (2^{2^m}-1) * (2^{2^m}+1) \end{eqnarray*}$

Richtig ist

$\begin{eqnarray*} 2^{2^{m+1}}-1 = (2^{2^m}-1) * (2^{2^m}+1) \end{eqnarray*}$

und so klappt es dann auch mit dem Beweis.

22.04.2012, 15:27

Hans77

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Ok danke, hab es falsch hingeschrieben aber richtig gerechnet.
Also stimmt der Beweis so?

22.04.2012, 15:35

HAL 9000

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Der Induktionsanfang muss korrigiert werden:

Nicht nur $\begin{eqnarray*} n=1,m=2 \end{eqnarray*}$ betrachten, sondern allgemeines $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sowie dann $\begin{eqnarray*} m=n+1 \end{eqnarray*}$ . D.h., du machst eine Induktion über $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ bei festen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

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