Rekonstruktion einer ganzrationalen Funktion 3.Grades

Neue Frage »

CheySchei Auf diesen Beitrag antworten »
Rekonstruktion einer ganzrationalen Funktion 3.Grades
Ich muss folgende Aufgabe + Rechnungsweg + Lösung morgen im Matheunterricht vortragen und komme mit der Umsetzung nicht zurecht unglücklich die Aufgabe lautet:

,, Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades schneidet die x-Achse an der Stelle x= - 3 mit der Steigung, die parallel zur Geraden y= - 12,5x+1 und hat an den Stellen x= - 4/3 und x= 2 Extremstellen.''

Folgendes habe ich schon:

1.Ansatz für die Funktionsgleichung
f(x)= ax^3 + bx^2 + cx + d
f'(x)= 3ax^2 + 2bx + c

2.Eigenschaften der Funktion
- schneidet die x-Achse an x= -3 , m= -12,5
- x= - 4/3 ; x= 2 -> Extremstellen
- Nullstelle (-3 l -12,5)

_____________________________________________

ich weis also nicht, wie ich das jetzt in gleichungen umsetzen könnte geschweige denn es lösen könnte :/ & bei der Nullstelle bin ich mir auch nicht so sicher hmm
danwin1 Auf diesen Beitrag antworten »

Schneidet die x achse an der stelle x = - 3 kann nicht sein?
CheySchei Auf diesen Beitrag antworten »

hmm das steht auf jeden fall in der aufgabe so, dass die funktion die x-achse an x= -3 mit der steigung die parallel zu der anderen gerade ist, schneidet
danwin1 Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid war auch totaler Unsinn meinerseits ^^ erst denken dann schreiben...
CheySchei Auf diesen Beitrag antworten »

ach kein Problem haha Big Laugh aber.. verstehst du die Aufgabe? ich kann damit irgendwie nicht wirklich was anfangen unglücklich
danwin Auf diesen Beitrag antworten »

Also du hast Eigenschaften gegeben, zB weist du

Nullstelle bei x = -3 -> f(-3) = 0 <=> -27a + 9b - 3c + d = 0
Steigung bei x = -3 = -12,5 -> f'(-3) = -12,5

So erhälst du mehrere gleichungen die du dann nach den einzelnen koeffizienten auflösen musst.
 
 
CheySchei Auf diesen Beitrag antworten »

also ich habe bis jetzt folgendes:

3.Umsetzen in Gleichungen

NS bei x= -3 :

f(-3) = 0

a*(-3)^3 + b*(-3)^2 + c*(-3) + d = 0
-27a + 9b - 3c = 0
_

Steigung bei x= -3 :

f'(-3) = -12,5

3*a*(-3)^2 + 2*b*(-3) + c = -12,5
-81a - 6b + c = -12,5


ist das richtig?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Anscheinend ist danwin verschwunden. Ich kann einspringen.

-27a + 9b - 3c +d = 0 Freude

-81a - 6b + c = -12,5 verwirrt
CheySchei Auf diesen Beitrag antworten »

aaaah habs falsch in den taschenrechner eingegeben Big Laugh

also so?

27a - 6b + c = -12,5
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es richtig. Freude

Jetzt kümmere dich mal um die Nullstellen. smile
CheySchei Auf diesen Beitrag antworten »

aber das mit der Nullstelle habe ich doch schon gerechnet, oder?
also f(-3) = 0

außerdem.. wie kriege ich es hin, dass 2 Variablen (oder wie die auch heißen) wegfallen, also, 0 werden?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich meinte die Extremstellen. Augenzwinkern

Die Variablen eliminierst du, indem du z.B. zwei Gleichungen subtrahierst. Dazu müssen die Variablen den gleichen Vorfaktor haben.

Aber erst einmal solltest du alle Gleichungen aufgestellt haben.

smile
CheySchei Auf diesen Beitrag antworten »

okay, ich gebe jetzt einfach die xe der Extremstellen in f'(x) = 0 ein und mache dann mit denen das additionsverfahren, oder welches sich dann halt anbietet.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Versuche es einmal. Zur Kontrolle kannst du deine Ergebnisse hier aufschreiben. smile
CheySchei Auf diesen Beitrag antworten »

aaah das funktioniert garnicht weil ich dann trotzdem eine variable zu viel hab.
ich hab jetzt folgendes gemacht:

f'(-4/3) = 0 f'(2) = 0

l) 16/3 a - 8/3 b + c = 0 ll) 12a + 4b + c = 0


dann das:

l) 16/3 a - 8/3 b + c = 0 l * (-1)
ll) 12a + 4b + c = 0
_______________________
l) -16/3 a + 8/3 b - c = 0
ll) 12a + 4b + c = 0 l +
_______________________
20/3 a + 20/3 b = 0

also eine Variable zu viel unglücklich wie krieg ich die weeeeeeg
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch noch diese Gleichung: 27a - 6b + c = -12,5

Mit der und mit 12a + 4b + c = 0 kannst du noch mal das Gleiche machen und c eliminieren.

Dann erhältst du eine weitere Gleichung mit a und b.

Übrigens kannst du schon etwas zum Verhältnis von a zu b sagen. Augenzwinkern
CheySchei Auf diesen Beitrag antworten »

hilfe unglücklich
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du gelesen, was ich geschrieben habe? verwirrt

27a - 6b + c = -12,5
-(12a + 4b + c = 0)

Was kommt da raus? smile
CheySchei Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, hatte ich zuerst nicht gesehen ^_^

da hab ich dasselbe problem wie bei dem verfahren was ich davor geantwortet habe. bei dem was du gesagt hast kam bei mir jetzt ab = -1/12 raus. also immernoch eine variable zu viel..

ich verzweifle
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte schreibe doch mal das Ergebnis der Subtraktion auf.
CheySchei Auf diesen Beitrag antworten »

das erstere hatte ich ja schon aufgeschrieben & das ist meine letzte rechnung:

27a - 6b + c = -12,5 l * (-1)
12a + 4b + c = 0
_________________
-27a + 6b - c = 12,5
12 + 4b + c = 0
_________________
-15a + 10b = 12,5 l : (-15)
a + 10b = -5/6 l : 10
ab = -1/12

unglücklich
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

-15a + 10b = 12,5 Freude

So, und jetzt erinnern wir uns: 20/3 a + 20/3 b = 0
Multipliziere diese Gleichung doch mal mit 3/20.
Du wirst ein interessantes Ergebnis erhalten. smile
CheySchei Auf diesen Beitrag antworten »

okay, ich hab jetzt was raus aber ich schreibe zur sicherheit nochmal meine komplette rechnung hin..

1.Ansatz für die Funktionsgleichung

f(x)= ax^3 + bx^2 + cx + d
f'(x)= 3ax^2 + 2bx + c

2.Eigenschaften der Funktion

- schneidet x-Achse an x= -3 , m= -12,5
- x= - 4/3 ; x= 2 -> Extremstellen
- NS bei x= -3

3.Umsetzen in Gleichungen & Lösen der Gleichungssysteme

NS x= -3 -> f(-3)= 0

a*(-3)^3 + b*(-3)^2 + c*(-3) + d = 0
-27a + 9b - 3c + d = 0


Steigung bei x= -3 -> f'(-3)= -12,5

3*a*(-3)^2 + 2*b*(-3) + c = -12,5
27a - 6b + c = -12,5

Extremstellen: x= -4/3 ; x= 2 -> f'(-4/3)= 0 ; f'(2)= 0

f'(-4/3)= 0
3*a*(-4/3)^2 + 2*b*(-4/3) + c = 0
I. 16/3a - 8/3b + c = 0

f'(2)= 0
3*a*2^2 + 2*b*2 + c = 0
II. 12a + 4b + c = 0

I. 16/3a - 8/3b + c = 0 l *(-1)
II. 12a + 4b + c = 0
____________________
I. -16/3 + 8/3b - c = 0
II. 12a + 4b + c = 0 l +
____________________
20/3a + 20/3b = 0


27a - 6b + c = -12,5 l *(-1)
12a + 4b + c = 0
_________________
-27a + 6b - c = 12,5
12a + 4b + c = 0 l +
_________________
-15a + 10b = 12,5


-15a + 10b = 12,5
20/3a + 20/3b = 0 l * 3/20
________________
-15a + 10b = 12,5
a + b = 0 l*(-10)
________________
-15a + 10b = 12,5
-10a - 10b = 0 l +
________________
-25a = 12,5 l : (-25)
a = -0,5

-15a + 10b = 12,5 -> a einsetzen um b rauszubekommen
(-15)*(-0,5) + 10b = 12,5
7,5 + 10b = 12,5 l : 7,5
10b = 5/3 l : 10
b = 1/6

4.Resultat

f(x)= -0,5x^3 + 1/6x^2 + cx + d <- woher weiß ich denn jetzt was c & was d ist?
CheySchei Auf diesen Beitrag antworten »

ach,. natüüürlich. ich brauche a & b jetzt einfach nur in 2 gleichungen einsetzen dann hab ich c & d raus haha

also meine funktion lautet nun:

f(x) = -0,5x^3 + 1/6x^2 - x - 12



tadaaa smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Bis hierhin ist alles in Ordnung: (-15)*(-0,5) + 10b = 12,5 Freude

Zitat:
7,5 + 10b = 12,5 l : 7,5 => Wenn du durch 7,5 teilst, musst du alle Terme teilen.
10b = 5/3 l : 10 unglücklich


Vorschlag: Subtrahiere 7,5:
7,5 + 10b = 12,5 | - 7,5
10b = 5
....

smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »